Genäherte Auflösungen. 
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hierauf ihre Summe, so erhalt man wegen der besondern Form 
des gegebenen Beispiels (309.) den allgemeinen Ausdruck von y. 
§. 332. 
Indem ich hier die genäherte Integration von Differential 
gleichungen nicht weiter verfolge, muß ich bemerken, daß die oben 
vorgetragenen Methoden, welche nur sehr selten konvergente Reihen 
geben, und dies bloß für sehr beschrankte Werthe der unabhän 
gigen Veränderlichen, nur wenig gebraucht werden. In den 
physico-mathematischen Aufgaben, wo die Annäherungen der In 
tegrals-Rechnung zur Anwendung kommen, hat man am häufig 
sten nur die kleinen Correctionen zu bestimmen, welche bei einem 
ersten genäherten, übrigens bekannten und als eine Mittelgröße 
angesehenen Werthe anzubringen sind. Da der gesuchte wahre 
Werth sich von diesem letzteren nur um solche Functionen ent 
fernt, deren Quadrat und höhere Potenzen anfänglich vernach 
lässigt werden können: so bringt man die Differentialgleichungen, 
welche jene Functionen bestimmen, auf den ersten Grad, und 
hierauf wendet man Verfahren an, die noch zu verschiedenartig 
sind, um in die Elemente eingeführt werden zu können; auch 
wird man dieselben immer da auseinandergesetzt finden, wo man 
sich ihrer bedient. 
Auflösung einiger geometrischen Aufgaben , welche 
auf Differentialgleichungen führen. 
§. 333. 
Da das Ansetzen der Gleichungen bei geometrischen Aufga 
ben, welche von Differentialgleichungen abhangen, bloß auf den 
Eigenschaften der Tangenten, Normalen und Krümmungs-Halb 
messer beruht und deßhalb nicht mehr Schwierigkeiten darbietet, 
als andere analytische Darstellungen, wenn man die Ausdrücke 
der fraglichen Linien kennt: so will ich nur einige wenige Bei 
spiele aufführen. 
Ich will zuvörderst bemerken, daß die Integration der Diffe 
rentialgleichungen von der ersten Ordnung auch inverse Tan 
genten - M ethode genannt wird, weil jede Differentialglei- 
d y , 
chung von jener Ordnung, indem sie den Ausdruck von ^ m x 
und y giebt, die Relation kennen lehrt, welche bei der fraglichen 
krummen Linie zwischen den Coordinaten und der Subtangente