Geometrische Aufgaben. 
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sämmtlichen auf einander folgenden Durchschnitte mit der Tra- 
jectorie umfaßt und folglich die Gleichung dieser letzteren seyn wird. 
Zum Beispiele mögen uns Parabeln mit einerlei Achse und 
Scheitel dienen, deren Gleichung ist: 
y' n =«x' m ; 
hier ist 
m«x 
P = 
n y 
Vermittelst der gegebenen Gleichung kann man, aus diesem letz 
ten Ausdruck, den Parameter «/welcher unsere Parabeln von 
gemeinschaftlicher Ordnung particularisirt, sogleich wegschaffen. 
Substituirt inan das Resultat in der Gleichung (A), nachdem 
man x', j in x, y verwandelt hat, und dividirt durch x m -iyn—», 
so findet man die gesuchte Differentialgleichung der fraglichen 
Lrajectorie: 
a (nxdx -j- mydy) -j- mydx — nxdy == o. 
Da diese Gleichung homogen ist, so kann sie nach dem Ver 
fahren des §. 283. behandelt werden. 
Ist m=n=l, so wird sie integrirbar, indem man durch x 2 +y 2 
dividirt, weil 
und 
ydx — xdy , / 
1 — = d. arc 1 tang 
x 2 -J-y 2 \ 
man hat also: 
:) C279); 
al/x 2 + y 2 arc ^tang==^ ==€), oder 
1 r X 2 _1_ y2 / y\ , , 
j— ; indem man die wlll- 
arc l tang: 
kürliche Constante ändert. Macht man 
/x 2 -s-y 2 — u, und arc ^tang = ^ = t, 
so verfällt man auf die Gleichung der logarithmischen Spiralen, 
welche (nach g. 128.) die Eigenschaft besitzen, ihren Radius Vector 
unter einem constanten Winkel zu durchschneiden. Denn unter 
den obigen Annahmen sind die durchschnittenen krummen Linien 
gegenwärtig lauter Geraden, welche durch den Anfangspunkt der 
Coordinaten gehen, indem ihre Gleichung y'—«x' ist. 
Sollte der Winkel TMt ein rechter seyn müssen, so müßte 
man a unendlich groß annehmen, und folglich nur diejenigen 
Glieder berücksichtigen, womit a multiplicirt ist. Die obige Glei 
chung geht alsdann über in