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Geometrische Aufgaben. 
nxclx-s- mydy- — o, deren Integral 
nx 2 +my 2 ^-6 ist, woraus ersichtlich ist, daß 
die krumme Linie, welche die gegebenen Parabeln unter rechten 
Winkeln schneidet, eine Ellipse ist, welche über der gemeinschaft 
lichen Achse der Parabeln beschrieben worden und den^gemein- 
schaftlichen Scheitel derselben zum Mittelpunkte hat. Die Tra- 
jectorien, bei welchen der Winkel TMt ein rechter ist, heißen 
orthogonale (rechtwinklige) Trajectorien und die Annahme 
eines unendlich großen a in der Gleichung (A) giebt 
l+pfe=0 
zu ihrer Differentialgleichung. 
§. 336. 
Die geometrischen Betrachtungen begründen auch die Mög 
lichkeit der Differentialgleichungen mit zwei Veränderlichen, wie 
wir im §. 298. schon ausgesagt hatten. Ist nämlich von einer 
Gleichung der ersten Ordnung die Rede, so zieht man daraus 
nur den Werth von welcher die trigonometrische Tangente 
desjenigen Winkels ausdrückt, den die Tangente an die jener 
Gleichung entsprechende krumme Linie mit der Achse der Absciffen 
macht. Man nehme also willkürlich die Coordinaten AP = a, 
guj,5s,PM=b eines ersten Punktes AI Fig. 58., und ziehe eine Linie 
MT, welche mit der der AL parallelen MQ einen Winkel M'MO 
bildet, dessen Tangente dem entsprechenden Werthe von ^ gleich 
ist: so wird jene Gerade die gesuchte krumme Linie im Punkte 
M berühren. Betrachtet man die krumme Linie und ihre Tan 
gente in der nächsten Umgebung des Berührungspunktes als zu 
sammenfallend, so wird die Gerade MT für einen dem P un 
endlich nahen Punkt P' die Ordinate P'M' bestimmen, mit wel 
cher man vermittelst der gegebenen Differentialgleichung die Tan 
gente des Winkels M"M'Q' berechnen wird, der sich auf die der 
MT folgende Tangente M'T' bezieht. Die Fortsetzung dieses 
Verfahrens wird ein Polygon darbringen, welches um so weni 
ger von der gesuchten krummen Linie, der die gegebene Differen 
tialgleichung zukommt, abweichen wird, je mehr die Seiten ver 
vielfältigt wurden. Es folgt auch aus dieser Construction, daß 
eine Differentialgleichung von der ersten Ordnung eine unend 
liche Anzahl von krummen Linien vorstellt, weil man den ersten 
Punkt M an einem willkürlichen Orte annehmen kann. 
Bei den Gleichungen von der zweiten Ordnung, welche nur