Geometrische Aufgaben.
203
den Werth von darbieten, bedient man
dx 2
statt der Tan-
genten, der osculatorischen Parabeln. Hat man willkürlich einen
ersten Punkt angenommen, dessen Coordinaten sind x = a, y=b,
so bildet man die Gleichung
y — b = A (x — a) -f- B (x — a) 2 ,
welche einer durch jenen Punkt gehenden Parabel zukommt. Dif-
ftrentiirt man diese Gleichung zweimal nacheinander und macht
x—a, so findet man
dx 2
der Coefficient A bleibt willkürlich, allein B wird bestimmt, wenn
man in der gegebenen Gleichung a, b, A fur x, y, ^ substi-
tuirt. Man beschreibt also zuerst eine Parabel -MN - , Fig. 59., Flg. 59,
welche durch den Punkt AL geht und deren Tangente an diesem
Punkte mit der Absciffe einen Winkel bildet, dessen trigonome
trische Tangente A ist. Man berechnet den Werth der Ordinate
P'M' jener krummen Linie und denjenigen von welche einem
auf der Achse der x sehr nahe bei P gelegenen Punkte P' ent
sprechen; substituirt man hierauf diese Werthe in der gegebenen
Differentialgleichung, so leitet man daraus einen neuen Werth
d 2 y . , ,
von ab. Bezeichnet man diesen mit 2B : und diejenigen
von P'M' und y- mit b t und A t , so bildet man die Gleichung
J — A x (x— aJ + B^x— a t y
der zweiten osculatorischen Parabel MW, mit welcher man eine
dritte bestimmen könnte, und so fort. ,
Es ist leicht, das vorhergehende Verfahren so zu modisiciren,
daß man die osculatorische Parabel durch den Krümmungs-Kreis
ersetzt, oder daß man es auf alle Ordnungen ausdehnt.
§. 337.
Die folgende Aufgabe wird zeigen, wie die geometrischen
Betrachtungen zu der im §. 323. vorgetragenen Theorie der be
sondern Auflösungen führen.
Eine krumme Linie finden, welche so beschaffen
ist, daß die Senkrechten, welche aus einem gege
benen Punkte auf ihre sämmtlichen Tangenten
gefallt werden, sämmtlich einander gleich sind.