Geometrische Aufgaben. 
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Es läßt sich hier leicht der bemerkenswerthe Umstand einse 
hen, daß alle Geraden, von denen so eben die Rede war, von 
dem Kreise, welcher die besondere^Auflösung vorstellt nothwendig 
berührt werden, weil dieser die senkrechte auf jede der Geraden 
zum Halbmesser hat. 
Dieselbe Relation findet zwischen den verschiedenen krummen 
Linien, welche durch das vollständige Integral einer Differential 
gleichung von der ersten Ordnung vorgestellt werden, und zwi 
schen derjenigen krummen Linie Statt, welche einer besondern 
Auflösung jener Gleichung entspricht; die letztere berührt alle er 
steren. Denn die Differentialgleichung bestimmt nur die Rich 
tung der Tangente, und jede krumme Linie, > welche in einem 
beliebigen Punkte dieselbe Tangente haben_ wird, wie eine der 
krummen Linien, welche aus dem vollständigen Integrale abzu 
leiten sind, wird der Differentialgleichung nothwendig genügen: 
jenes geschieht aber bei der krummen Linie, welche die erwähnten 
krummen Linien sämmtlich berührt. 
Es folgt hieraus, daß die Abgewickelte einer krumme Linie 
nichts anders ist, als die besondere Auflösung der Differential 
gleichung, welche alle Normalen jener krummen Linie vorstellt 
(§. 80.), und daß diese, die Abwickelnde, ebenfalls die besondere 
Auflösung derjenigen Differentialgleichung ist, welche allen ihren 
Krümmungs-Kreisen gemeinschaftlich ist, allein mit dem Unter 
schiede, daß hier die Berührungen von der zweiten Ordnung sind. 
Der im §. 323. zwischen den vollständigen Integralen und 
den besondern Auflösungen begründete Zusammenhang läßt sich 
auch aus geometrischen Betrachtungen ableiten. Denn jeder 
Punkt im Umkreise des vorhergehenden Beispiels kann als der 
Durchschnitt zweier auf einander folgenden Tangenten d.i.'als 
der Durchschnitt zweier Geraden angesehen werden, welche von 
zwei auf einander folgenden Werthen der Constante o herrühren; 
die Abscisse und die Ordinate dieses Durchschnittes bangen von 
den Werthen der c ab, welche also auch ihrerseits Function von 
jenen Größen d. i. von x und y ist. Es ist einleuchtend, daß 
man, um die Gleichung einer Linie zu bilden, welche der durch 
die Gleichung 
y — cx = nY 1-j-c 2 
dargestellten nachfolgt, diese letztere zu differentiiren hat, indem 
man 6 variiren läßt; und weil man nur den Durchschnitt jener 
beiden Linien sucht, in welchem Punkte ihre Coordinaten gemein 
schaftlich sind, so muß man x und y als constant ansehen; jener 
Durchschnitt wird demnach durch die beiden Gleichungen 
y — cx — ri A+c 2 
nc 
— x 
Y' i+c