Vollständige Differentialgleichungen. 207 
Differentialgleichung dargeboten wird; 3°. endlich kann auch nur 
eine Relation zwischen den Differential-Coefficienten der Function, 
dieser selbst und den unabhängigen Veränderlichen gegeben seyn. 
Ich will mich zuerst mit dem zweiten Falle im vorhergehen 
den §. beschäftigen, durch die Betrachtung der Gleichung 
Pdx-}- QdyRdz = o. 
Diese Gleichung ließe sich nach dem Verfahren in §. 280. inte 
geren, wenn die erste Seite ein genaues Differential mit drei 
Veränderlichen wäre, allein wenn dies nicht der Fall ist, so kann 
man vermittelst eines passenden Factors diesen Fall herbeiführen, 
wofern jene Gleichung von einer Grundgleichung u — c abgelei 
tet ist. Es läßt sich dies eben so zeigen wie bei zwei Veränder 
lichen (§?289). Denn nun muß die obige gegebene Differen 
tialgleichung mit der folgenden 
du , du , du 
-r- dx + -=— dy 4- —dz = o 
dx 1 dy J 1 dz 
Übereinstimmen, d. h. die Werthe von dz, welche aus der einen 
und der andern gezogen werden, müssen, unabhängig von -dx 
und dy, identisch seyn (136); allein da diese Werthe respective 
dz— - 
dz : 
r . Q , 
dx , dy . 
d^-cR^' 
dz 
dz 
sind, so folgt, daß 
du 
dx 
du 
dz 
du 
3j. 
R' 
du 
dz 
du 
du 
du 
dx 
dy 
dz 
P 
~ o 
= R ‘ 
2, weßhalb 
Nennt man diese letzteren Quotienten it, so erfolgt 
du — ^tPdx -f- ßQdy -J- /¿Rdz. 
Dieses vorausgesetzt muß dieses Differential, um genau zu 
seyn, noch folgende Bedingungen erfüllen 
d . ¡iV d . ¡uQ d , uR d . «P d . ¿¿Q d . /tiK 
dy dx ; dx dz ' dz dy 
deren Entwickelung die folgenden Gleichungen liefert