vollständige Differentialgleichungen. 209
P^_R« + R< lf .>
dy dy '
Q — R -4- O —
V dx + ^dz
dQ
dx x dx x dz dz '
d. r. die vorige Gleichung (B).
Man nannre diejenigen Gleichungen, welche der Bedingungs
gleichung (B) nicht genügten, während einer geraumen Zeit, ab
surde Gleichungen und sah sie als nichtsbedeutend an. Allein
Monge hat gezeigt, daß alle Differentialgleichungen mit drei Ver
änderlichen eine wirkliche Bedeutung haben, und daß, während
diejenigen deren Integral durch eine einzige Gleichung zwischen
drei Veränderlichen ausgedrückt wird, krummen Oberflächen zu
gehören, jede andere eine unendliche Anzahl von doppelt gekrümm
ten Linien vorstellt, welche eine gemeinschaftliche Eigenschaft be
sitzen. Beschäftigen wir uns zunächst mit den ersteren.
tz. 340.
Wenn die Bedingungsgleichung (B) befriedigt ist, so reichen
zwei beliebige von den Gleichungen (A) hin, um den Factor ¡.t
zu bestimmen, und man wird sehen, daß die Integration der
gegebenen Differentialgleichung auf diejenige der Gleichungen mit
zwei Veränderlichen zurückführbar ist.
Es sey deßhalb ft derjenige Factor, welcher das Differential
Pdx + Qdy
integrirbar macht, wenn man in ihm z als constant ansieht; macht
man
/(/iPdx + /iOdy)=U,
so erhält man zum gesuchten Integrale
U + Z=o,
wo Z eine bloße Function von z bedeutet. ^ Differentiirt man
jetzt dieses Integral, indem man Alles variiren läßt, und be
merkt, daß
dü „ dü
■sr= ilP '
d y
=^Q,
so erhält man die Gleichung
¿iPdx-J-^Qdy-}- (
V dz dz ,
dz;
deren Vergleichung mit der vorgegebenen darbietet:
™ du . dZ
* tR== dT + “' oi)er
dz
az_ «J
Allein, damit die Bestimmung von Z gemäß der aufgestellten
Annahme Statt finden könne, muß sich die zweite Seite dieser
vacroix Znkcgr. 14