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Vollständlge Dlffercntialglei ch u tt g e tt. 
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Statt finden, wenn eine neue Bedingungsgleichung befriedigt wird, 
die ich an dem Beispiele 
Pdx 2 -4- Qdy 2 -j- Rdz 2 -|-2Sdxdy-J- 2Tdxdz -j- 2Vdydz = o 
erläutern will. Damit diese Gleichung von einer primitiven Glei 
chung u — c herrühren kann, muß sie vor allem auf die Form 
P'dx -j- Qd j -f- R'dz — o 
zurückführbar seyn (339.) oder, was dasselbe ist, müssen bei Aust 
lösung derselben in Bezug auf eines der Differentiale die beiden 
andern frei vom Wurzelzeichen seyn. Allein dies geschieht nicht 
immer; denn man hat 
dz |—Tds 
Vdy 
-±f (T 2 — PR) dx ’-f 2 (TV— RS) dxdy + (V 2 — QR)dy 2 }, 
und wenn die Größe unter dem Wurzelzeichen kein vollständiges 
Quadrat ist, oder wenigstens wenn man nicht hat 
(T V — RS) 2 ==’ (T 2 — PR) (V 2 — QR), 
so werden die Differentiale dx und dy unter dem Wurzelzeichen 
gefangen bleiben. Im Allgemeinen muß die gegebene Gleichung, 
welches ihr Grad in Bezug auf dz, dx, dy seyn mag, nachdem 
sie nach den Potenzen von dz geordnet werden, in Factoren von 
der Form 
dz — pdx— qdy=o 
zerlegbar seyn. 
Von den vollständigen DifferenLialgleichungeNf welche 
den Bedingungen der Jntegrabilität nicht genügen. 
§. 342. 
Ich habe im tz. 339. gezeigt, daß eine Differentialgleichung 
von der ersten Ordnung mit drei Veränderlichen von der Form 
P dx + Q dy -|- Rdz = o 
nur dann durch eine Function von zwei Veränderlichen befriedigt 
werden kann, wenn die Gleichung 
dy dy dx dx L dz dz 
für sich identisch ist; allein nimmt man eine beliebige Abhängig 
keit zwischen x, y und z auf, so verwandelt man die gegebene 
Gleichung in eine andere, welche nur noch zwei von jenen Ver 
änderlichen enthalten und folglich die eine von diesen in Function 
der andern bestimmen wird. 
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