212 Vollständige Differentialgleichungen.
Hat man z. B. die Gleichung
dz xdx-j-ydy
z — c x(x —a)-|-y (y— b)'
welche die obige Bedingung so lange nicht erfüllen kann, als a
und b von Null verschieden sind, und man macht in ihr
y—<p 00,
wo cp eine beliebige Function bezeichnet, so verwandelt sie sich in
dz sx-j-hf) (x) cp' (x)] dx I
z — c x(x — a)-j-<px [(jp(x)— b]
und giebt so viele verschiedene Relationen zwischen 2 und x, als I
man der Functionen cp besondere Formen zutheilt.
Macht man
gj(x)= x, so erhalt man
dz 2xdx 2dx
z -— c x (x — a) + x (x — b) 2x—a—b '
woraus man zieht
z — c — C (2x—a—b),
wofern C eine willkürliche Constante ist. Der gegebenen Differen
tialgleichung wird demnach durch das System
y = x s
z — c = G (2x—a—b)j
Genüge geleistet.
Schon Newton hatte in seiner Abhandlung von den Flurio
nen *) diese Art angegeben, Differentialgleichungen aufzulösen,
welche mehr als zwei Veränderlichen enthalten. Allein diese Art
hat den Uebelstand, für jedes Resultat, welches man erlangen
will, eine Integration zu verlangen, und Monge bemerkte im
Jahre 1784, daß man durch die Einführung einer willkürlichen
Function zu einem allgemeinen Systeme von Gleichungen gelan
gen könne, welches eine unendliche Anzahl von besondern dar
bietet, welche sämmtlich der gegebenen Gleichung Genüge leisten.
§. 343.
Das zu befolgende Verfahren, um die Gleichung
Pdx + Qdy + Rdz — o
durch eine einzige Grundgleichung zu integriren, wenn dies mög
lich ist (340.), führt ebenfalls zur allgemeinsten Auflösung jener
Gleichung, im entgegengesetzten Falle.
*) Newtons Opiiscnia. 1. ff. p. 83, Ausgabe von (744,