Vollständige Differentialgleichungen. 
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Denn integrirt man zuerst, indem man eine der Verändere 
lichen z. B. z als conftant ansieht, bezeichnet durch 
Ü=G 
die Grundgleichung für * 
Pdx + Qdy — o, 
und differentiirt jene Grundgleichung, indem man zugleich x, y, z 
und C variiren la$t: so gelangt man, nach der Vergleichung des 
Resultates mit der gegebenen Gleichung, zu der folgenden 
dC du 
dz dz ' 
wofern fi derjenige Factor ist, welcher Pdx-|-Qdy zu einem ge 
nauen Differentiale macht. Hier wird sich nun nicht mehr die 
zweite Seite auf eine bloße Function von z reduciren, wie dieses 
der Fall ist, wenn die Jntegrabilitats-Bedingung erfüllt wird, 
und dieselbe wird nicht 6 geben können, wie jene Bedingung 
erfordert. Allein es ist einleuchtend, daß, wenn man immerhin 
annimmt, daß C eine Function von z sey, die gegebene Glei 
chung durch die Grundgleichung U = G befriedigt werden wird, 
wofern man zu gleicher Zeit hat: 
«10 du 
■3T=dr- flK: 
macht man also 
C ----- qp(z), 
so wird das System von Gleichungen 
^ =<p (z)l 
¿¿R = (siX z)l 
dU 
dz 
der gegebenen Differentialgleichung genügen, welches auch die 
Form der Function cp seyn mag, und kann also auf eine un- 
el'.dliche Anzahl von Weisen particularisirt werden, indem man 
rj) willkürlich ändert. 
Wendet man Vorstehendes auf die Gleichung 
dz xdx-J-ydy 
z — c x(x—a) + y (y—b) 
an, welche im vorhergehenden §. zum Beispiele diente, so erhält 
man 
xdx -J- ydy 
Pdx + Qdy: 
■ X (x— a )+y(y—b)' 
E.: 
und macht man 
fl — x(x—a)-f y(y— b),