10
Rationale Functionen.
Mdx Mjdx M 2 d x M m _, d x
(x—a) m (x—a) 111 “ 1 (x — a )m—2*'“ X—a '
deren Zähler Constanten sind, und welche sich ebenfalls nach dem
Verfahren des §. 171. integriren lassen.
§. 174.
Jene letzte Form und diejenige, welche den ungleichen Fakto
ren entspricht (tz. 172.), sind die einfachsten, welche die partiellen
Brüche annehmen können, worin sich die zu integrirenden Brüche
zerfallen lassen, und veranlassen eine Hülfs-Operation, welche
in zwei Theile eingetheilt werden kann. Der erste, welcher darin
besteht, die Faktoren des Nenners V zu bestimmen, hangt, wie
wir schon gesagt haben, von der Auflösung der Gleichung V=o
ab (§. 172.): der zweite, welcher die Zählerder partiellen Brüche
bestimmen soll, wird durch mehre Verfahren zu Stande gebracht,
wovon das folgende am meisten elementär ist.
Nachdem man einen einfachen Factor, x — a, des Nenners
besonders ausgehoben, setzt man:
17 N p
V=(x — a) Q und — — -j- —, wo P eine Function
von x ist, die von der Reduction auf einerlei Nenner aller von
N
j-—^ verschiedenen Bruche herrührt, worin sich der gegebene
Bruch zerfallen läßt; es wird mithin P eine ganze Function, in
Bezug auf x, seyn. Allein, wenn man die beiden Seiten der
letzten der obigen Gleichungen auf einerlei Benennung bringt, so
erhält man:
U:=NQ-}-(x — a)P, weßhalb P = ;
und weil P eine ganze Function von x ist, so muß 17 — NQ
durch x — a genau theilbar seyn, welches, vermöge des Haupt
satzes von der Composition der Gleichungen, nur dann Statt
finden kann, wenn das Polynom U — NQ verschwindet, wo
fern man in ihm x in a verwandelt. Wenn man also dasje
nige, wozu 17 und Q nach jener Verwandlung werden, die an
N nichts ändert, weil N konstant ist, mit u und q bezeichnet)
so erhält man:
u — Nq = o, und N = ^,
welcher letzte Ausdruck immer einen endlichen Werth haben wird;
denn weder Zähler noch Nenner können Null werden, weil, we
gen der Annahme, daß der gegebene Bruch auf seinen einfachsten
Ausdruck gebracht worden, der Factor x — a, nicht dem U,
