der ersten Ordnung. 
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man sindet bei der Integration der Gleichungen 
xdy— ydx = o, xdz— iizdx=o / 
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daß die Factoren und ¡.i respective — und sind, und daß 
folglich 
Es folgt also, daß 
oder 
M = I, N = — 
X x u 
■vH ( f V -v 
'■x n q) 
d. h. daß z eine homogene Function in x und y vom Grade n ist. 
In der That ist die iGleichung px-j-qy — nz nichts als der in 
tz. 202. vorgetragene Lehrsatz von den homogenen Functionen, wo 
von das Vorhergehende einen neuen Beweis für den Fall zweier 
Veränderlichen darbietet. 
tz. 347. 
Wenn die Veränderlichen x, y und z in den Functionen 
xd^ — Qdx, Pdz — Rdx ohne Unterschied vorkommen, so ist es 
nicht mehr möglich, jede dieser Functionen in's besondere, mit 
Hülfe von Factoren, integrirbar zu machen, weil man die Glei 
chungen 
Pdy—Qdx—o, Pdz—Rdx = o 
nicht isolirt integriren kann; denn es ist wohl zu bemerken, daß 
weder z in der ersten noch j in der zweiten als konstant ange 
nommen werden soll; allein man kann dennoch die Gleichung (3) 
in eine andere verwandeln, welche ein genaues Differential von 
der Form 
dK = s/)'(M)clM 
ist, wofern man die Functionen M und N als solche ansieht, 
welche die drei Veränderlichen x, y, z zu gleicher Zeit enthalten. 
Bei diesem Stande der Dinge entwickelt sich die Gleichung 
dN — f/(M) dM in die folgende 
welche mit der Gleichung (3) übereinstimmen muß. Zieht man 
aus beiden den Werth von dz und setzt die Coefficienten der Diffe 
rentiale dy und dx einander gleich (330.), so sindet man