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Partielle Differentialgleichungen
M
sL
M k
Xi
»«■4’
m
dv
W
a££
o.
d n z
=a= V
dy n
wacht, weil sie alsdann übergeht in:
h ( dv d 2 v d m v)
T' y v ' 5'$?•••• dT»)
Man muß nun y als constant ansehen, weil alle Differential-
Coefficienten von v, welche vorkommen, sich auf x beziehen, und
man kann die letztere Gleichung also so behandeln, als ware sie
eine bloße Gleichung zwischen den Veränderlichen x und v; allein
es ist einleuchtend, daß man, um dem Ausdrucke von v die
mögliche Allgemeinheit zu geben, die m willkürlichen Constanten,
welche er enthalten muß, durch eben so viele willkürliche Functio
nen der anfangs als Constants angenommenen Veränderlichen j
ersetzen muß. Hat man v erhalten, so steigt man vermittelst
e
^ —v zu z zurück, wo man alsdann x als constant ansehen
d»z
muß, weßhalb V eine Gleichung von der nt-n Ordnung ri
zwischen zwei Veränderlichen wird und demnach wie eine Glei
chung von der letzteren Gattung behandelt werden kann, indem
man bloß zu bemerken hat, daß die durch die neue Integration
eingeführten n willkürlichen Constanten in willkürliche Functionen
von x verwandelt werden müssen.
2°. Gleichungen von der Form
/ dz d 2 z d n z\
f ( x ' y ' z 'S'di 3?) = °
/ dz d 2 z d n z\
V' y ' Z ' Ty' lyi' ‘ ■ * • dr)=°
können immer unmittelbar so behandelt werden, als kämen nur
zwei Veränderlichen in ihnen vor, nämlich x und z in der ersten,
y und z in der zweiten; und nach der Integration substituirt
man für die Constanten willkürliche Functionen, in der ersteren von
j, in der letzteren von x.
Die Gleichungen von der zweiten Ordnung
d 2 :
dxdy
d 2 z
Q/
Q,
dxdy 1 dj
in welchen P und Q nur X und j enthalten, beziehen sich auf
die erste Form. Macht man
dz
so wird die erste
dx~~ V '