Rationale Functionen. 
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und wegen seines nur einmaligen Vorhandenseyns in V, derselbe 
Factor auch nicht dem Q angehören kann. Es wird also immer 
möglich seyn, den partiellen Bruch zu erhalten, der einem Factor 
von jener Gattung entspricht. 
Setzt man, für ü, dasjenige was es darstellt (§.172.), 
und beachtet, daß 
Q:=(x —a')(x — a")(x-a"') rc. 
so erhalt man: 
u A a n ~ 1 -j- B a tl ~ 2 C a n — 3 T 
q (a — a') (a — a") (a — a"') rc. ' 
welcher Ausdruck mit dem oben (§. 172.) angezeigten Gesetze 
übereinstimmt. 
§. 175. 
Betrachten wir jetzt, wie sich die Zähler derjenigen partiel 
len Brüche finden lassen, die den gleichen Factoren entsprechen. 
Es sey 
V—Q(x — a) ,n ; 
setzen wir: 
U_ N N x N 2 N m _, P 
V (x — a) 1 “ “ (x — a)“-» ‘ (x—a) m 2 * "’ r x— a ‘ Q 
(§. 173.), welche Form durch die Bestimmung der Unbekannten 
bewahrt werden wird. Bringt man beide Seiten auf einerlei 
Benennung, so erfolgt, 
V = Q [N + N , + (x—a) + N 2 (x — a)2...-s-Nm-r (x—a)®“ 1 ] 
4~P(x — a)“, 
17-Q [N + N x (x-a) + N a (x-a)«...+ a)"^«]. 
(x — a) ul ’ 
und da P eine ganze Function seyn muß, so muß der Zähler 
seines Ausdrucks ounal nach einander durch x— a genau theil- 
bar seyn: es wird dieser Zähler also verschwinden, wenn man in 
ihm x in a verwandelt. Man bemerkt zunächst, daß dieser Zäh 
ler in diesem Fall in 17 — QN übergeht; allein, damit 17 — QN 
durch x — a genau getheilt werden könne, muß man, u — q N 
= o, oberN = ^-, haben, wenn man die Bezeichnungen des 
vorhergehenden §. beibehält. 
Jener Werth von N verwandeltU — QN inU — -Q, wel 
cher Ausdruck, da er sich durch x — a theilen läßt, die Form, 
171 (x — a), annimmt, wenn 17, den Quotienten bezeichnet, und 
die Aufhebung, das den beiden Gliedern des Ausdrucks von P 
gemeinschaftlichen Factors x — a, giebt: