höherer Ordnung.
229
Hat man A = i, B — o, C = — g 2 und V —o, wodurch
die gegebene Gleichung in
tl 3 Z
r — c 2 1 = o oder -7— — *)
ux 2
übergeht, so wird das Integral
z — (pQy — cx) + |/;(y-J-cx).
§. 352.
Die vorhergehende Methode umfaßt nicht nur nicht alle Falle
der Gleichung vom ersten Grade und von der zweiten Ordnung
Ar -j- Dg -J- Ct + Dp -j- Eq -f- Fz — ü,
selbst wenn man die Koefficienten auf der ersten Seite als con-
stant annimmt, sondern sie scheitert sogar an der sehr einfachen
Gleichung
die sie von der Integration der gleichzeitigen Gleichungen
abhängig macht; denn die zweite, welche drei Veränderlichen p, q
und x enthält, kann kein genaues Differential werden (339).
Man muß hieraus aber dennoch nicht schließen, daß die ge
gebene partielle Differentialgleichung nicht integrirt werden könne,
welches sogar auf eine sehr allgemeine Art geschehen kann. Macht
man zunächst
z — Ae mx + îl 5 r 1
wo A, rn und n unbestimmte Constanten bezeichnen sollen, so
werden der Coefficient A und die Erponentialgröße verschwinden,
und es wird bloß die Gleichung mit zwei Unbekannten
zurückbleiben, welcher man auf unendlich viele Weisen wird
genügen können. Giebt man sich m, so leitet man daraus den
Ausdruck
z—Ae mx4 - m2 y
ab, welcher der gegebenen Gleichung genügt, welches auch die
Werthe von A und m seyn mögen: nimmt man also für diese
Größen eine unendliche Anzahl von Werthen
^ i t m 1 / A 2 , rn 2 , Az , rn^ , 2C<
so findet man eben so viele Ausdrücke, deren Summe auch noch
der gegebenen Gleichung genügt (3o9.), so daß man haben wird:
*) Diese Gleichung ist diejenige der schwingenden Saiten.