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Note CB) 
über die imaginären Logarithmen. 
I. Da die Gleichung 
zV^—1 = 1 (cos z 4* —1 sin z),, 
2mnV~i = zl.± 
wird, wenn man z=2mn macht, so läßt sie erkennen, daß die Einheit 
eine unendliche Anzahl verschiedener Logarithmen hat. Man findet nur 
dann Null, wenn man m — o annimmt; allein- für jeden andern positi 
ven oder negativen Werth von m erhält man einen imaginären Ausdruck, 
welcher als ein Logarithmus der Einheit angesehen werden muß. 
Dieser Satz, welcher ein Paradoxon zu seyn scheint, wenn man den 
Logarithmen nur einen arithmetischen Ursprung zuweist, indem man sie 
aus der Vergleichung der Progressionen herleitet, („Elém. d’Algebr.“ 
§. 2ö4.) verliert sein Ausfallendes, wenn die Logarithmen aus der Glei 
chung y = e x hergeleitet werden. Denn bezeichnet man den numerischen 
Exponenten der Potenz, auf welche man e erheben muß, um den der y 
beigelegten Werth zu erhalten, durch a, und macht 
x = a 4» z, 
so erfolgt 
e i7 '+ z — y, welche Gleichung sich auf 
e z =1 reducirt, weil e ß =y. Allein benutzt 
man hier die Entwickelung in §.27., so erhält man die Gleichung 
2 . z 2 , z 3 
i* 172 + 17773 + :c, "~ 0/ 
welche sich in die Faktoren 
z = o 
z z 2 , 
1 + 2 + x72 + ,C ° 
Zerlegen läßt; der erstere ist die arithmetische Bestimmung des 
Logarithmus der Einheit, und der zweite enthält die algebraischen 
Bestimmungen. Dieses ist für die Theorie der Logarithmen, was die 
Betrachtung der imaginären Wurzeln der Einheit für die Theorie der Po 
tenzen ist. „Elém. d’Alg.“ §.159.) 
Die Werthe 
z — 2mrA / '—1 
sind die Wurzeln des zweiten Factors der Gleichung und diejeni 
gen der Gleichung y = e x sind 
a 4* 2m7iV^—1,