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Noce über die Logarithm err
cos (a 4* 1) z = cos z cos nz — sin z slu az,
cos (n—1) z cos z cos nz 4* sia z sin az,
so geben dieselben
cos (b + 1) z 4* cos (n —-1) z = 2cos z cos »z,
woraus man zieht
2 cos (a + 1) z = 2cos z . 2 cos nz — 2 cos (n — 1) Z»
Setzt man hierauf
2 COS z = y+ —
y
und ersetzt n nach und nach durch 1, 2, 3 re., so erfolgt:
2 cos 2z — (y + ^) —2 = y s + i,
2co S 3i=^ + !)^ + i)-^y+ ‘)=J S +p
2 cos 4z = (j + i) (y ä + ~) - (2 +p) = J* + Ji
rc.,
woraus man zunächst nach der Analogie schließen kann, daß
r
2 COS BZ = y n 4“ ■— .
Um sich aber hiervon völlig zu erzeugen, reicht es hin einzusehen, daß
wenn das bemerkte Gesetz für die Zahlen n—1 und n Statt findet, das
selbe nicht minder für n + l gültig ist. Macht man aber
1 1
2 cos (a— 1) z — y 11 1 4- , 2 cos nz = y 11 4- ~ ,
y y
so geht daraus hervor
2 cos (a 4.1) z — ^y 4- ^ 4- — (y^ 1 + ^T=i)
1
+ yS+7'
worin wiederum das angenommene Gesetz hervortritt, und der Wewers
liegt, daß, wenn man von a — 1 und n—2 ausgeht, dasselbe Gesetz
auf alle ganzen Zahlen ausgedehnt werden könne.
Hieraus folgt, daß die Gleichungen
1 n 1
2 cos z = y4--, 2 cos uz = \ 4* ~Z i
y y
welche einerlei sind mit den folgenden
y 2 —2ycosz4-l=o, y 2n —2y n cos az 4* 1 = =: o
ZU gleicher Zeit Statt finden und folglich eine gemeinsame Wurzel haben.
Bezeichnet man diese aber mit a, macht hieraus y==i, und reducirt alle
Glieder jeder Gleichung auf dieselbe Benennung, so wird man finden, daß
sie zugleich durch diesen neuen Werth befriedigt werden; und da die erste
Gleichung nur vom zweiten Grade ist, so folgt, daß sie einer der Facto
re» der zweiten ist.