Note ü>er die Logarithmen
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Macht man jetzt
so erfolgt
cos nr
und mithin wird die Gleichurg
. 2mn 4* $
= cos o , z = f
die folgende
y 2,1 — y 11 cos J 1 4* 1 — o
.2
2ni7r + J
2y cos — 4* 1 == o
zum Factor haben, welche ganze Zahl man auch für m fubstituiren mag.
Somit haben wir also wieder die Formel in §. 191.
Um hieraus diejenigen in §.190. abzuleiten, reicht cs hin, 6=. o und
<y = 7T ju macheu. Zn dem ersteren Falle hat man:
cos<? — 1, y 2n — 2/4- l = (y n —l) 2 , und hierauf
•n »n 2rn7T
y — 1 = e, y —2y cos 4» 1 = o»
Zn dem zweiten Falle hat man:
cos S =s— 1, y 2r 4-2y n 4-l ===(y n 4-l) 2 , und hierauf
n , , 2 _ (2m 4-1)71 , .
y 4* 1 = o, y 2 — 2y cos 4* 1 = o
wie in dem erwähnten Pmagraphen.
TV. Vermittelst des Ausdrucks
z= 2m7iV^—x
der imaginären Wurzeln !>cr Gleichung
G' — 1 = O
erklärt man befriedigend mehre Schwierigkeiten, welche die Anwendung der
Logarithmen auf negative Zahlen darbietet, unter andern die folgende:
Weil (—a) 2 = (4-a) 2 =a 2 , so ist 1 (- a 2 )^1(a2), also
21 — a — 21 4-a, oder
I — a =£ I 4" a.
Allein dieser letzte Schluß stimmt nicht mit der Gleichung y = e x ; cs kann
nie irgend ein reeller Werth von x y negativ machen; also können die
negativen Zahlen keine reellen Logarithmen haben. Dieses wird auch durch
die Gleichung
zV^—i =a 1 (cos z 4" —1 sin z)
bestätigt, in welcher man
z = (2m 4* 1) TT
machen muß, um
cos z =s 1
Zu erhalten, woraus hervorgeht
1 — 1 = (2m 4* 1) n —1;
und bezeichnet man den reellen Logarithmus von a durch a, so erfolgt
1 — a = a 4-1 — l = a + (2m 4-
welche Formel gar keinen reellen Werth giebt, weil m immer eine ganze
Zahl sein muß (188).