238 Note über doppelte bestimmte Integrale rc. 
Indessen ist es wahr, daß die Ausdrücke 21 4- a und 21 —a einen 
Theil von la 2 ausmachen, allein ohne deßhalb gleich zu seyn. Denn wenn 
K der reelle Logarithmus von a ist, so wird derjenige von a 2 , 2a seyn 
und alle (sowohl relle als imaginäre) Logarithmen von a 2 werden in dem 
Ausdrucke 2a + 2mnV^—1 begriffen seyn, wo in gerade oder ungerade 
seyn kann. Zn dem ersten Falle wird in eine doppelt gerade Zahl seyn, 
und folglich wird der obige Ausdruck übereinstimmen mit 
21.4* a = 2« + 2 ♦ ¿luVZUJ : *) 
in dem zweiten Falle, wenn 2rn bloß einfach gerade ist, wird der Aus 
druck von 1a 2 Übereinstimmen mit 
2l — a = 2a + 2 (2m 4* 1) V^-V *) ; 
allein die Ausdrücke 
2a-*r2.2m.nV—\, 2c: + 2 (20^+1)^—1 
können nicht übereinstimmen, weil die angezeigten Zahlen in der einen 
doppelt und in der andern bloß einfach gwade find. 
Note CC) 
über die doppelten bestimmten Jntegnle, deren Differential- 
Coefficient zwischen gegebenen Grenzen unendlich groß wird, 
und über die singulären Integrale. 
I. Man hat im §. 271. gesehen, daß das Resultat der auf einander 
folgenden Integrationen in Bezug auf zwei Veränderlichen, im allgemei 
nen von der Ordnung unabhängig ist, in welcher diese Integrationen 
vollzogen werden. Man kann sich auch, vermittelst des in der Note zur 
Seite 78 gegebenen Ausdrucks , dadurch von diesem Umstande Rechenschaft 
geben, daß man die Integrale als Summen von Elementen betrachtet. 
Zn der That sey das doppelte Integral 
sszdxdy 
zu suchen, wo z — s(x, y), und seien die Grenzen in Bezug auf X, a 
und a' und diejenigen in Bezug auf y, b und b'. Beginnen wir mit der 
Integration in Bezug auf x, machen 
a = a 4- n«, 
und schreiben der Kürze wegen f (m, y) anstatt s (a 4* m«, y): so erhalten 
wir nach der angezogenen Note 
sl zdx ~ K { s (°,y)4" f ( 1 ,y) * ♦ • + f(n— 
Multiplicirt man jetzt beide Seiten mit dy und integrirt von y = b bis 
y —b', indem man 
b' =3 b 4* pt< 
*) Vor y*—■! sind die Tt aus Versehen ausgeblieben. 
B.