Note über doppelte bestimmte Integrale rc. 239
rnacht, so wird ein beliebiges Glied der zweiten Seite, a/dys(m,y)
t? |f (m, o) + f (m, 1) 4 f (m, 2) . . . 4 1 (m, p —1)|
geben, und es wird deßhalb zur vollständigen Entwickelung zum Vorschein
kommen:
s*' /^'zdxdvsss
J b J a
1(0, 0) 4 f(1, 0) 4* 1(2, 0) . . . 4 f(n — 1, 0)
i4f(0, 1) 4 5(1, 1) 4 1(2, 1) ... 4 f(n — 1, 1)
« 2 <41 (0, 2) 4 1(1, 2) 4 1(2, 2) ... 4 1(u-l, 2)
r
\4 1(0, p—1) 4 1(1, p—1)4 1 (2, p—1) . . . 4 1 (n— 1, p—1)/
wo jede Horizontale ein Integral in Bezug auf X und jede Colonne ein
Integral in Bezug ans y vorstellt. Kehrte man die Ordnung beim Jnte-
griren um, so würden die Horizontalen zu Colonnen werden, und umge
kehrt; cs würde nur die Ordnung der Substitutionen geändert worden
seyn; denn in dem ersten Falle fängt man damit an, für x ihre verschie
denen Werthe zu substituiren, und erst hierauf substituirt man diejenigen
von y, während man in dem zweiten Falle gerade umgekehrt verfährt.
Mein dieses ändert im allgemeinen nichts an dem Werthe der Glieder der
letzten Entwickelung, weil die Function 1(x, y) immer dieselbe bleiben
muß, wenn man für x und y dieselben Werthe setzt, in welcher Ordnung
auch die Substitutionen vorgenommen werden mögen.
II. Es findet dennoch hierbei eine Ausnahme Statt, wenn jene Wer
the für x und y die Function f (x, y) unbestimmt machen, indem sie die
selbe durchs Unendliche gehen lasten.
H. Cauchy hat diese Bemerkung zuerst an der Function
gemacht. Nimmt man hier zu gleicher Zeitx — o und y —o an, so
wird die Function völlig unbestimmt, * wie die im $. 154. betrachtete.
(Siehe auci) ien „Tralte etc.in 4to. SS. I. ©.- 357 — 360 und 607);
allein nimmt man die Substitutionen nur nach einander vor, so findet man.
wenn man jetzt y — o macht; bei der umgekehrten Ordnung findet man
zuerst —=— i-, welches, nach der Annahme von x — o, — Uncnd-
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X X
lich giebt. Allein unsere Resultate hören auf, verschieden zu seyn, so bald
man x und y nicht mehr als gerade Null ansieht: cs ist also nur ein Ele
ment vorhanden, welches zwei Werthe annimmt, dasjenige nämlich, welches
x — o und y = o entspricht; und, was wohl zu merken ist, die alsdann
lichen Werth annehmen, welcher auf denjenigen des gegebenen Integrals
