240 Note über doppelte bestimmte Integrale rc.
einfließt; auch gelangt man Zu zwei verschiedenen- Resultaten, wenn man
die Integrationen in verschiedener Ornung annimmt.
Um sich hiervon zu überzeugen, muß man bemerken, daß wofern man
u = arc ^tang =
macht, alsdann erfolgt
du
da
X ,
dx ot 2 4* y 2 r dy x 2 + y 2 f
u v2 X 2
did^ = (x2 +y2)2 — Z OM»
Hieraus folgt, daß wenn man mit der auf x bezüglichen Integration be
ginnt, im allgemeinen zum Vorschein komme
r , /^d 2 u du x
/= y àn
dy
und nun erhält man von x = a bis x —a'
X 2 + y 2 ’
9*
a 2 + y 2 a a +y a *
Geht man hierauf über zu
"da , Y~ a'dy
„= s^iv= — /-L.
J dy 1 J a 2 +y 2 J a a +y*
= are ^tang = — are ^tang =
und beachtet die Grenzen b und b’ dieser neuen Integration, so findet man
zum letzten Ausdrucke
( d'x ( b\\
are (lang = —A — are (lang = -, 1 1
/ b'N , / b\ r
— are i lang = —J + are ^tang = - j t
Verfährt man in umgekehrter Weise, so erhält man nach und nach:
/zdy==y^j
woraus;
d 2 u
dxdy
b'
dy ;
du
dx
b
‘x 2 +y 2 '
x 2 4-b' 2 x 2 +b 2 '
“du . b’ dx
"=/r>=-/^*/s
bdx
und endlich
b'2 4- x 2 ' J b 2 +X a
= — arc ^tang ----- ^ + arc (rang = ,
—■ arc ^tang ----- ^ + arc ^tang — ^ )
4* arc ^tang = ^ — arc ^tang=-^ i
Es ist nicht schwer zu zeigen, daß die beiden vorhergehenden Resultate
in ihrem allgemeinen Zustande identisch sind; allein macht man
a 5=s —— 1 f a -1 / b ^ 1/ 1) —*• 1 /