Note über doppelte bestimmte Integrale re. 241
Grenzen, zwischen welche x — o, y = o fallen, und woraus hervorgeht
arc Gang — 1) — arc (lang —— 1) — — £■:
so findet man die Werthe
Tl 7t 71 71
»+{+4 + 4 :
'4 4 4
1 r X = 71
welche nicht gleich sind, sondern 2?r zum llnterschicde haben.
Wollte man x = o, y —o zu den ersten Grenzen der gesuchten In
tegrale wählen, so müßte man zuerst a' = b' = 1 machen, und der erste
Ausdruck würde
— arc Ctang = b) — arc ^ taug = + arc ^ lang = , oder auch
— ^ — arc (lang = b) + arc (tang = a) + arc
weil
arc
(“5=;)
^tang = j^ —^ — arc (tang — a).
Betrachtet man alsdann a und b als sehr kleine Größen, und vernachläs
sigt demgemäß die Glieder
arc (lang = a), arc (lang = b),
so bleibt
(tang---^,
welcher Ausdruck unbestimmt wird, wenn a und b Null sind. Setzt man
71 .
— £ + arc I
so erhalt man
b = ma ,
— + arc (tang = m)
wo m von o bis zum Unendlichen variiren kann: in dem ersten Falle ist
das Resultat—^, und in dem letzten -i-^, weil are (tang—Unendlich)
= |; der Unterschied dieser beiden Werthe ist 7k. Man hat früher 2 7t
gefunden, weil die Veränderlichen x und y in der gegebenen Function in
geraden Potenzen vorkommen und deßhalb jede Integration von —1 bis
+1 ein Resultat giebt, welches doppelt so groß als dasjenige ist, welches
man von o +1 erhält.
Die eben gezeigte Zweideutigkeit würde bei den zwischen denselben
Grenzen genommenen Integralen
Lacroir Jntegr. 16