Rationale Functionen.
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und hierauf x — a — o macht, d m V=m (m—i)
(§. 57.) und folglich
2 ... m d x m *
2.1 . Q d X m
Man gelangt zu den Ausdrücken der Differentiale von Q,
bei der Annahme von x — a = o, wenn man nach und nach
die Differentiale von der Ordnung m -s-i, m ff-2 jc. der Gleichung
V = Q(x — a) m nimmt; denn es ist nach der Bemerkung intz. 57.,
leicht zu sehen, daß in diesem Falle d m + x y — d m + x Q (x — a) m
z. B., in (m -j- x) m.... 2. i d Q d x m *) übergeht. Es folgt
hieraus, daß man die Uubestimmten N x , N 2 rc. vermittelst der
Differentiale des Zahlers lll und des Nenners V des gegebenen
Bruches ausdrücken könne. **)
§. 177.
Die vorige Rechnung bedarf keiner wesentlichen Abänderung,
wenn auch einige der Wurzeln a, a, a" w. nicht reell seyn
sollten, da die imaginären Größen, die alsdann den Zahlern der
partiellen Brüche angehören würden, durch die Reduction auf
einerlei Benennung verschwinden würden. Allein es mag ein
facher seyn, diese Formen dadurch zu vermeiden, daß man den
*) Da sowohl die dritte als die vierte Originalausgabe hier dx'"d»»
haben, so scheint es nicht überflüssig zu seyn, daß die Richtigkeit des
dx m (welches sich auch in der 2ten Ausgabe befindet) hier bewie
sen werde. — Da, nach des „Traite etc.“ Band I. §. 91.,
< y z == y ¿« z ^¿y ¿H 1 ? , '' C U X ) ¿ 2 y ¿11—2 ^ I . ,
' J J 1 J 12 ^ T 7
so ist auch,
d m+l y _ ¿m-j-l Q ( x _ a) m __ q x ¿m+l ( x _g)»i + d Q ¿m ( x _ a )'«
+ - — d 2 Q d m ~ I (x — a) m + :c.; also, für X — a,
¿nid-ly — X o -7t- d Q , m (m-x) ... i, dx m + —‘~^ X ^ m d 2 QXo + :C»
oder
d m + 1 V = ( m +i)rn.(m-i)....2.idQdx m .
Ucbrigens folgt es auch schon ans der Homogenität der Differential-
Ausdrücke. B.
**) Siehe das „Traite etc.“ in 4to. B. II. S. 19.; siehe auch, wie
Euler, in „Acta acad. Petrop. an. 1780. pars x ma p. 32.“, vermit
telst einer Entwickelung, die der von u in §. 92. analog ist, die
Zähler der partiellen Brüche bestimmt, welche die Coefficienten der
negativen Potenzen von l» sind, wenn man P in ^ verwandelt.
