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Nationale Functionen. 
Nenner V nur in reelle Factoren zerlegt, welches immerhin mög 
lich ist, indem sich die imaginären Factoren eines beliebigen Po 
lynoms, je zwei, zu reellen Factoren vom zweiten Grade grup 
pier lasten. (Complement des elemens d’Algebre). 
Diese Factoren lassen sich im Allgemeinen durch 
x- — 2 a x -f- a 2 -}- ß 2 
darstellen, und um die entsprechenden partiellen Brüche zu er 
halten, brauchen die Verfahren der §§. 174. und 174. nur sehr 
wenig modisicirt zu werden. 
Ist ein solcher Factor einfach vorhanden, so setzt man: 
17 Mx+N Q 
V x 2 — 2 «x-J- a 2 + /? 2 P' 
woraus man zieht: 
17 — Q (M x -f- N) -j- P (x a — 2 a x -j- a 2 -j- ß 2 ) f 
p ___ U — Q(Mx-j-N) . 
x 2 — 2 a x + a 2 + ß 2 5 
und zieht man ähnliche Schlüsse wie in §. 174., weil P immer 
fort eine ganze Function von x seyn muß, so muß die Große 
17 — Q (Mx-(-N) durch x 2 — 2 « xa 2 -{-/? 2 genau theilbar 
seyn: sie muß also unter ihren Factoren auch diejenigen der letz 
ten Größe enthalten, und mit denselben zugleich verschwinden. 
Allein die Wurzeln von x 2 — 2 «x + « 2 +/3 2 sind: 
y.~a-\-ßY' — 1, X —« — ßlT—x, 
welche Werthe, nach und nach in der Größe 17 — Q (M x -f- N) 
substituirt, dieselbe zum Verschwinden bringen müssen. Esseyen 
demnach uitu' —1 und q dz q' Y'— 1 dasjenige, wozu 17 und 
Q nach jener Substitution werden; hierdurch erhält man: 
u -+- u r Y— r— (qdü q' Y~—i) [M (cc±ßY~ —0 -f-N] = o *), 
welche Gleichung, wegen des Zeichens rt, womit mehre ihrer 
Glieder versehen sind, eine doppelte und denjenigen beiden gleich 
bedeutend ist, die dadurch entstehen, daß man sowohl den reellen, 
als den imaginären Theil gleich Null setzt. Nach dieser Betrach 
tung hat man die beiden Gleichungen, 
ix — (q « — q'/?) M — qN = o, 
u — (q'a -J-« q ß) M — q'N — o, 
welche die Werthe von 24 und geben werden. 
*) Entwickelt man die Potenzen (u + ßV'—i) m und (« — ßV — i) m , 
so sieht man, daß Ausdrücke, wie A x m + B x 11 — C x l> + jc, , in der 
That die vorausgesetzte Form annehmen müssen.