Irrationale Functionen. 
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Setzt man, anstatt z, n z in der Gleichung, 
e^ = cos z Y'— I sin z, 
so wird dieselbe: 
e ±L n *r'—»_rGQsnzdt-r — i sinnz; 
allein man hat auch 
e±™ — ( e ±jy~y = (cos z 2t r“ sin z)n: 
folglich erhält man: 
,,(cos z *+" — i sin z) n = cos n z Y— i sin n z". 
Diese Gleichungen führen zu sehr wichtigen Resultaten. *) Ich 
werde hier bloß bei dem davon zu machenden Gebrauche verwei 
len, um die Factoren der Function x ii .+.a n aufzufinden, weil 
wir dieser Factoren zur Integration der Formel bedürfen. 
§. 188. 
Die Function 
x n qia ri 
verwandelt sich in a n (y n + i), wenn man x=ay macht: um 
ihre Factoren kennen zu lernen, reicht es also hin, die Gleichung, 
y"^x —c>, oder, 
y n = ± i , 
aufzulösen. Der Ausdruck für y, 
y — cos z — Y— l sin Z, 
genügt der letzten Gleichung, vermittelst einer sehr einfachen Be 
stimmung der z. Denn man hat 
y n = (cos z-j- Y— i sin) n = cos nz-s-1^ — i sin n z * 
und da, wenn tt den halben Umkreis und in eine beliebige ganze 
Zahl bedeutet, sinnig — o und cos nur = db i, je nachdem »n 
gerade oder ungerade ist, so hat man bloß 
n z = m 71 n 
anzunehmen, utn y n =+ i zu erhalten. 
Um die Fälle des geraden oder ungeraden m genauer zu unter 
scheiden, so schreibe man für m, im ersten Falle 2 m, und im 
andern 2m + i; man mache also, diesem gemäß, entweder 
nz — 2 m tt, oder n z — (2 rn -j- r) 5r. 
Aus der ersten Annahme folgt: 
cm. .. I r * et 2 m 7t , 1/- . 2 m 7t.. 
,,Wenn y n =4- x, so rst y — ecs {- r — um ", 
11 n n 
*) Siche die Note (U) am Ende.