Binomische Differentiale. 
Verwandelt man hierauf, in der oben erhaltenen Lransformirten 
in 2, n m — n, a in b, b in a und m in m 4- : so erhält 
man dadurch den Ausdruck 
welcher rational wird, wenn 
eine ganze Zahl ist. 
Man wäre unmittelbar hierzu gelangt, wenn man 
L = zqi, oder, was hieraus folgt, a + bx n = x n z<i, gemacht 
hatte, welches die Transformation ift^ deren sich Euler bediente. 
§. 193. 
Da es nicht möglich ist, das Integral 
/x ,n— *' d X (a -f- b x n ) p 
allgemein zu bestimmen, so verfallt man zunächst darauf, dasselbe 
auf die einfachsten Fälle zurückzuführen zu suchen. 
Man gelangt hierzu sehr leicht, vermittelst der Integra 
tion durch Theile, eines fruchtbaren Verfahrens, welches dazu 
dient, ein Integral auf ein anderes zurückzuführen. Es erfolgt 
dieses Verfahren aus der Integration der beiden Seiten der Glei 
chung, 
d.uv^udv + vu (i), 
wodurch man erhält: uv=/udv +/Vdu, und folglich: 
)9 fx dv = uv — Jv d u". 
Man sieht hieraus, daß, wenn sich die Function X., im Diffe 
rential Xdx, so in zwei Factoren P und y zerlegen läßt, daß 
man das Differential Qdx ju integriren vermag, und man 
sQ dx mit v bezeichnet, folgende Relation Statt findet: 
„sX. d x —sP Q d x = P v —sv d V ie , 
wodurch das erste Integral auf das letzte zurückgeführt wird.