wenn man in der Gleichung (A) m — n für m schreibt; verwan
delt man spater in derselben Gleichung m in m — 2 n, so wird
y x m-4u—idx(a + bx u ) li vermittelsts»dx(a + bx n )t be
stimmt , u. s. w.
Im Allgemeinen führt eine Anzahl r von Reduktionen zu
/k« 1 -“-' d X (a+b x u )p, und die letzte Formel ist:
s x m-{T-i)n—i d X (a + b x n )p =
x®”' ru (a -s’ b x n )P+* — a (m —rn) fom-m-i d x (a -J- b x n )P
b [p n -}- m — (r — i ) n]
Cs leuchtet aus dieser Formel ein, daß, wenn m ein Vielfaches
von n ist, die Integration des Differentials
x m—l d x (a -|- b x n )P
sich algebraisch vollziehen laßt, weil alsdann der verschwindende
Coefficient m-m das letzte Integral / x m - TU - , dx(a-f-bx n )p
zum Verschwinden bringt. Dieses Resultat stimmt mit demjeni
gen des §. 192. überein.
Man kann auch eine Reduction vornehmen, wodurch der Expo
nent des Binoms, in der Formel
d x (a b x n )P,
um eine Einheit kleiner wird. Um hierzu zu gelangen, bemerke
man nur, daß dieser Ausdruck
d x (a -f- b x n )P-‘ (a + bx u ),
und daß die Formel (A), wenn man m in m + n und p in p — 4
verwandelt, giebt:
1 d x (a -j- b X n )p~ 1 —
x m (a-f-bx n )P — amy"x m—1 dx(a-f-bx n )P“‘
b (p n -j- m)
Substituirt man alsdann diesen letzten Werth in der vorhergehen
den Gleichung, so erhalt man die verlangte Formel:
„/x-n-r d x (a + b x n )P =
x Ul (a -j- b x n )P -|- p n a 1 d x (a -j- b n )P~ l (
p ix -j-m
Mit dieser Formel kann man die Zahl p nach und nach um
alle Einheiten vermindern, die sie enthalten mag, welche Verein
fachung, in Verbindung mit derjenigen, wozu die Formel (A)
die Hand bietet, das Integral
yk m ~~ l d x (a + b x n )p von dem folgenden
y x m-in-i d x (a + b x n )P -s
" (B)