Binomische Differcn tiale.
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abhangen laßt, worin m das größte ittn-i enthaltene Vielfache
von n und s die größte in p enthaltene ganze Zahl bedeutet.
So wird z. B. das Integral
yk 7 dx(a + b x 3 )k
durch die Formel (A) nach und nach auf
yk 4 d x (a b x 3 )^, sx d x (a -j- b» x 3 ) T ,
zurückgeführt; worauf das letzte Integral, vermittelst der Formel
(B), nach und nach von
Jk (1 x (a -J- b x 3 ), yk d x (a -J- b x 3 ^ T ,
abhängig gemacht wird.
tz. 196.
Es leuchtet ein, daß die Formeln (A) und (B) nicht mehr
ihrem Zwecke entsprechen, wenn m und p negativ sind,
weil sie die Exponenten des außerhalb der Klammern befindli
chen x und des Binoms vergrößern. Allein durch Umkehrung
der Formeln (A) und (B) gelangt man zu neuen Formeln, die
bei dem fraglichen Falle Anwendung gestatten.
Man zieht aus (A):
j x m 11 1 d x (a -|- b x n )P =
X m i 1 (a -f- b x n )P+ x — b (m -f- n p) f x m — 1 d X (a -J- b x n ) p
a (m — n) 1
verwandelt man hierauf m in — m n, so gelangt man zu der
den Exponenten, des außerhalb der Klammern befindlichen x,
vermindernden Formel:
9> sx— m — 1 d x (a 4" b x ll )P =
x~ :m (a-j-bx n )l , ' t ' 1 -|-b(m —n—np)yk“ m + n “ 1 dx(a-f-bx n )P
— (L>)
a m
Man zieht aus (B):
s x m—1 d x (a -j- b x n )p =
x ,n (a -f- b x n )P — (m + n p) fx m ~ l d x (a -|- b x n )P
p n a
verwandelt man hierauf p in — p +1, so erfolgt die den Expo
nenten des Binoms vermindernde Formel:
yjjk m 1 d X (a -j- b x")-P =
X 1U (a + b x n )“P+ 1 — (m + n — np)yk“ -1 dx(a-|-bx n ) — ^
_____ C )
Die Formeln (A), (B), (C) und (D) werden unbrauchbar,
wenn ihr Nenner verschwindet, wie dieses z. B. bei (A) Statt
findet, wenn m = ~np. Allein in allen Fallen, die hierhin