Binomische Differentiale.
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‘
Seht man für m die auf i folgenden ungeraden Zahlen, so
erhält man
dx * 8 1 r dx
2 X 3 ‘ 2 ./ X ’K"l X 3
X 3 r"l X 3
6x
-/ X5 Kl '
1 —^ I 3
4 X * ” 4
rr=^
r 1-x-
raw wer-
Mch ds
6 x 6
/-
rr=
dx
n=r«'
ic.i
und setzt man für m die geraden Zahlen, so erfolgt:
rr~
dx
-{- const.
/=r
rr
+i /i_i?
$y i—x-
+ i /_ ^
1 x«’
3x 3
kt X
x 6 ri—
Ti — x 3
5 x s
rr
rc.
Aus jeder dieser Reihen von Gleichungen kann man, wie im
vorhergehenden §., eine Reihe von End - Resultaten ableiten,
wovon die einen, durch Logarithmen, und die andern, algebraisch
integrirte Formeln darbieten werden, die zu eigenen Klassen ge
hören.
tz. 199.
Das sich das Differential x^dx (ax 7 -f-bx n )p auf die Form
X ro-H j r— 1 d x(a + bx 11-1 ) 1 ' bringen läßt, (§.192.), so läßt es
auch dieselben Reductionen zu, die bei dieser letzten Form An
wendung finden können. Zum Beispiele diene das in der Me
chanik vorkommende Differential
x q d x
r2 CX — x 3
Zuerst hat man
s X flx — — /x q d X (2cx—x 2 ) T ==/x q_T dx (2 c—x)“*.
w/ Y 2CX x 2
Macht man hierauf in der Formel (A) (§. 194.) m = q -f- 4, n = i,
p — — 4- / a = 2 c, b = — l, so erfolgt:
/ X J T d X ( 2 C x) t z=
2c(q — i) 4-| ~i
Jx dx(jc — x)
x q ~ T (zc— x y-