Reihen. 
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x beizulegen beabsichtigt, konvergent wird. Die Reihen, welche 
nach Potenzen von x fortschreiten, deren Exponenten positiv sind 
und stets wachsen, d. i. die steigenden Reihen convergiren 
im Allgemeinen nur dann, wenn die Veränderliche x sehr klein 
bleibt; wahrend die nach den negativen Potenzen von x fort 
schreitenden d. i. die fallenden Reihen desto mehr conver 
giren, je größer die Veränderliche ist. 
Um zu einer Reihe von der letzten Art, für das letzte Bei 
spiel, (tz. 202.), zu gelangen, braucht man nur die Ordnung 
der Glieder des Binoms a"-j-x» abzuändern, uud in der Ent 
wickelung von — s in x zu verwandeln. Denn hierdurch 
erhält man: 
a« a 2n 
x ^u 1 -jj3u 
a 3 » . 
X U _j_ a u x n X SD 
und, nachdem man mit x-°dx multiplicirt hat, giebt die Inte 
gration der einzelnen Glieder der zweiten Seite: 
A 
c m d X 
x a + a Q 
(n — in — i) x n — m —» 
(2 n — m — ijx“ 1-11 *"* 
s- rc. + const. 
(3 n m — 1) x 3n—m— 
Diese Reihe würde unbrauchbar seyn, wenn einer ihrer in 
in — m — i enthaltenen Nenner verschwände, welches eintreffen 
würde, wenn m + x ein Vielfaches von n wäre. In diesem 
Falle würde das entwickelte Differential ein Glied von der Form 
a (r—.)n enthalten, dessen Integral a( i— 0» 1 x seyn würde. 
Macht man in dem obigen Resultate 111=0, n; 
a= I, so wird es: 
und 
dx 
1 + x 2 
L 1 « I 
— 7 + rc. + const. 
s 3 5 X s 
Allein obschon x - das Differential des Bogens ist, dessm Tan 
gente -= X, so darf man hier doch nicht schließen, daß die letzte 
Reihe die Entwickelung jenes Bogens ist, weil sie das unendlich 
Große giebt, wenn x==o. Um diese Schwierigkeit zu heben, 
braucht man nur die willkürliche Constante zu betrachten und zu 
bemerken, daß man den wahren Werth einer Reihe nur in dem 
Falle erkennen kann, wenn sie convergent ist. Allein die Reihe 
ist dieses um so mehr, je größer x ist, und verschwindet, wenn