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nach und nach überzugehen; allein der §. 187. führt uns zu
allgemeinen Formeln, welche alle diese besondern Fälle in sich
schließen:
Denn nach jenem §. hat man
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' oder 2» cos ZN---: (<Z Z I 4- I)n.
entwickelt man die letzte Seite dieser Gleichung, indem man n als
eine ganze Zahl ansieht, so erhält man:
2** cos z’ 1 = e nz/Cr * + - 4- ~S n ~~ e (st ^) z ^~
1 i 1 x. 2
1 n ( n l ) ( n 2 ) e (n—6I ” e —(»—2}z^ — , —azp'~
* 1.2.3 *“ * 1 '
Mein wenn man z in mz verwandelt, so giebt die Gleichung
— — """ " 7t F°—x sin z.
cos z
cos mz -H 7~-
e - *■ — * —= cos mz — i sin mz,
und bietet demnach ein Mittel dar, alle Glieder der obigen Ent
wickelung in Sinussen und Cosinussen auszudrücken, so daß man
erhält:
, n , . n(n—i)
2 n cosz n = cosnz4"“ cos(n—> 2) z-j cos(n — 4)a
, n (n—i)(n—2) . .. , n , v .
——cos(n—ojz .. .7— cos—(n—2)z4cos—nz
1.2,3 1
, _ f . n . , n (n—-1) .
~j-y— 1 |sm nz 4 “ sin ( n —2) z -] — sin (n—4) z
n(n—1) (n—2) . , ' , N , n . )
-j —— sin (n—o) z ... -7- j sin—(n—2)z4sm—nz\,
Es ist aber das mit 'F"— x multiplieirte Aggregat gleich Null, wie
nun gezeigt werden soll.
1) sey n ungerade. Die Anzahl der Glieder des Aggregats
ist alsdann gerade, und diejenigen Glieder, welche von den bei
den äußersten gleich weit entfernt sind, haben gleiche Coeffieienten,
aber verschiedene Zeichen, weil (nach „Trig. no. 26.“)
ein —- mz = — sin mz ,
was auch m seyn mag; mithin wird die eine Hälfte des Aggre
gats durch die andere aufgehoben. Sollte Jemand Schwierig
keiten finden, das Vorhergehende genau zu fassen, so kann er
dieselben bald überwinden, wenn er der n einen besondern Werth,
etwa 3 oder 5, beilegt und hiernach die Rechnung vollführt.
Man wird hierbei leicht sehen, daß der reelle Theil des Werths
von 2 n cosz 11 , im Falle das n ungerade ist, auf halb so viele