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Kreis-Functi onen. 
§. 221. 
Nun sey das Differential 
dz cos z 4 
zu integriren. Man zieht zunächst aus den Formeln des tz. 219., 
COS Z 4 —£ cos 4z cos 2z 
worauf man erhält: 
Formeln ausschließen zu dürfen, welche dazu dienen, den Sinus und 
Cosinus eines vielfachen Bogens durch die Potenzen des Sinus und 
Cosinus des einfachen auszudrücken. Weil diese letztem Formeln aber 
sehr bcmerkenswcrth sind, so mag deren Begründung jetzt folgen. 
Man hat nach tz. 187 
cos nz + K-—1 sin nz = (cos z + v—i sin z) n 
cos nz — —1 sin «z = (cos z ——i sin z) n ; 
summirt man diese beiden Gleichungen, so erhalt man: 
(cos z ■+> —1 sin z) n 4” (cos z — -—i sin z) n 
cos nz = 1 5 
2 
und Zieht man die letztere von der ersteren ab, so erfolgt: 
(cos z 4-V^—isinz) n — (cos z — —x sin z) n 
sin nz= — . > ... -« 
y' -—1 
Obschon die beiden letzten Ausdrücke mit imaginären Größen ver- 
knüpft sind, so sind sie darum doch nicht weniger reell, weil die Ent 
wickelung der angedeuteten Potenzen jene sämmtlich verschwinden 
macht. Denn man hat 
(cos z + —1 sin z) n = cos z T1 + - V —i cos z 11 1 sin z 
II (n 1} Ti—2 . 2 . 
• cos z 11 1 sin 'iT — re., und 
1.2 
(cos z—K—1 sin z) n = cos z n — 2 \/—I C os z 11 1 sin z 
n (11—1) n _„ 2 . ^ 
cos z“ “ sin z + re.: und 
1.2 
substituirt man diese Reihen in den obigen Werthen, so findet man 
endlich: 
XI ^ (n 1) n—2 • 
cos nz = cos z cos z sin 
1.2 
. tj (n—l) (n—2) (11—3) n —4 . 4 
4» — cos z 4 sinz — 
1.2«3.4 
re. 
n n 1 . n (n—l) (u—2) n - . 3 
sinnz = -cosz sin z cosz °smz 
1 1,2.3 
. n (n—l) (11—2) (n—3) (11—4) n-6 -5 ,, 
4- — cos z ^ sin z -- IC, 
1.2.3.4.3