Genäherte Werthe. 
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meinheit zu ertheilen, die es zuläßt, zeiget, daß diese Functionen 
auf doppelte Art unbestimmt sind, weil eS zur Bestimmung ihrer 
Werthe nicht hinreicht, den Werth der Veränderlichen festzusetzen, 
wovon sie abhangen, sondern auch noch ihre Constante bestimmt 
werden muß, welche alle möglichen Werthe zulassen kann. Man 
bestimmt diese Constante gewöhnlich dadurch, daß man vom 
Integral erheischt, daß es für einen gegebenen Werth von x 
verschwinde. Man hat schon mehre Beispiele hierüber gesehen 
(187, 202, 203) und es kommt dies im Allgemeinen auf Fol 
gendes zurück. 
Wenn /Xclx—f(x)-J-C, wofern f(x) die durch das Inte 
grations-Verfahren unmittelbar abgeleitete veränderliche Function 
und C die willkührliche Constante bedeutet, und wenn für den 
Werth x — a das Integral verschwinden soll, so stellt man die 
Gleichung f(a)-J-C = o auf, woraus man C =— f(a) und 
/Xdx=f (x) — f (a) ableitet. Unter dieser Form ist das Integral 
/Xclx nur noch der Unterschied zwischen dem Werthe den f(x) 
annimmt, wenn x —a, und demjenigen, den f(x) bei jedem 
andern Werthe derselben Veränderlichen x annimmt. Bei x — b 
z. B. erhält man 
/Xdx = f(b)_f(a). 
Es ist zweckmäßig zu bemerken, daß man dieses Resultat 
unmittelbar gewinnt — ohne daß es nöthig sey die Constante zu 
bestimmen — wenn man nur den Unterschied der den Werthen 
x—a und x=b entsprechenden Resultate f(a)-j-Cimb f(b)-j-G 
darstellet. 
Der Werth x=a, hei welchem das Integral verschwindet, 
ist dessen Anfang, und man sagt alsdann: das Integral 
fangt an mit x — a. Da derjenige Werth des Integrals, 
womit man schließt, dem x — b entspricht, so sagt man: das 
Integral ist vollständig, wenn x— b. 
Die beiden Werthe 
X — a und X —b 
werden gemeinschaftlich die Grenzen des Integrals genannt. 
Jedes angedeutete Integral, dessen Anfang, oder dessen Gren 
zen unbestimmt gelassen werden, heißt ein unbestimmtes In 
tegral, und muß, um vollständig zu seyn, eine willkührliche 
Constante enthalten. 
Sind die Grenzen des Integrals bestimmt, so heißt es ein 
bestimmtes Integral. Sind die Grenzen z. B. x — a und 
x —b, so sagt man: das IntegralsXäx muß zwischen 
den Grenzen x — a und x —b genommen werden; 
und dieses erreicht man dadurch, daß man nach und 
nach den veränderlichen Theil desIntegrals unter 
der Annahme von x=a und von x = b berechnet und