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Genäherte Werthe. 
die Functionen X und ^ zwischen den Grenzen x—a und x —b 
ihr Zeichen nicht ändern und nicht unendlich groß werden, was 
man immer dadurch zu Wege bringen kann, daß man diejenigen 
Theile des Integrals absondert, worin einer jener Umstande Statt 
finden sollte *). 
Es ist einleuchtend, daß die Ordnung der Grenzen von 
/Xdx umzukehren seyn wird, wenn die Werthe von X stets 
abnehmen: die erste Linie der Formel (I) wird alsdann zu stark, 
und diejenige der Formel (II) zu schwach seyn. 
§. 233. 
Dieselben Bemerkungen lassen sich auch auf diejenigen Glie 
der ausdehnen, welche mit höheren Potenzen der « behaftet sind: 
es folgt alsdann, wie oben, daß wenn zwei entsprechende Linien 
in beiden Formeln verschiedene Zeichen haben, die Summe der 
vorhergehenden Linien in der einen Formel zu stark und in der 
andern zu schwach ist, und daß man, diesem zu Folge, wenn 
man die Größe des Irrthums nicht kennt, wie dieses beinahe 
immer der Fall ist, sehr zweckmäßig die Summe der beiden Re 
sultate zur Hälfte nimmt. Wendet man dieses Verfahren un 
mittelbar auf unsere beiden Formeln an, so findet man: 
*) Oie vorhergehenden Formeln werden oft mit der Bezeichnung von 
S. 73 geschrieben. Nachdem man /Xdx = f(x) gesetzt, woraus 
X = —hervorgeht, welches man mit f'x bezeichnet: so erfolgt 
A = t'(a) / A x === f' (a+a) , .. .A n ----- {' (a+na) — f' (b) ; 
a (A n — A) = [f' (b) - £' (a)], und folglich ist, 
rh 
J Xdx = f(b) —s(a), 
die Grenze, deren sich der Ausdruck 
ct |f* (a) + i 7 (a + ct) .,,, 4* [a + (n — l) et] | 
c c 1) —' a 
desto mehr nähert, je großer n je kleiner a = —■— wird. 
Will man nur diese Relation feststellen, so kann man die Taylor- 
sche Reihe durch den am Ende des §. 6. befindlichen Ausdruck ersetzen.