90 Summation beliebiger Stücke der Taylorschen Reihe. 
d(sx) 
dx 
: 1.2x — 1.2.3 X 2 + 1.2.3.4 x 3 — 2C. 
und multiplicirt man diese letzte Gleichung mit x, so wird sie: 
d(sx) 
dx 
1.2x 2 — L . 2.3x-j-1.2.3 .4x 4 — rc., 
deren zweite Seite offenbar x — s gleich ist: man wird also er 
halten : 
x6(sx) 
x- 
dx 
oder 
dx 
x 
Das Intergral hiervon ist: 
8—- fe x dx (285). 
Damit der obige Ausdruck der gegebenen Reihe entspricht, 
muß das Integral verschwinden, wennx —o; und nimmt man 
dasselbe bis x = i, so erhält man die Größe, welche der diver- 
girenden Reihe 
1 — 1.2-J-1.2.3 — 1,2.3.4 + ZC. 
entspricht. 
§. 426. 
Die bestimmten Integrale bieten auch ein Mittel dar, Theile 
der Reihe 
du h d 2 u h 2 
U+ E r + fer2+ !C -' 
von einem beliebigen Gliede an, darzustellen. D'Alembert gelangt 
hierzu auf folgende Weise, wodurch er zugleich den Taylorschen 
Lehrsatz beweist. (Siehe seine Untersuchungen über verschiedene 
wichtige Punkte des Welt - Systems T. I. S. 50.). 
Es sey u' dasjenige, wozu die Function u wird, wenn in ihr 
x in x-j-ll verwandelt wird. Setzt man 
u' = u —J— P 
und differentiirt in Bezug auf h, welches nicht in u vorkommt, 
so erfolgt 
du^ d? , 
wHhalb