92 Summation beliebiger Stücke der Taylorschen Reihe.
/“Hdb":
1.2...(n—l)
|h«-/Hdh-
(n-—l)b n
■/Hbdb
(n—■!) (n—2)h n ~3
1.2
-/Hh 2 db —2c.|;
und es ist leicht zu sehen, daß man für die letztere Reihe den
Ausdruck
7 /H(t~h)»T*dh,
1.2 ... (n — Iss
von h = o an genommen, subftituiren kann, wofern man nach der
Integration t in h verwandelt; denn entwickelt man diesen Aus
druck, schafft die Potenzen von t, welche die verschiedenen Glie
der multiplieiren, unter dem Zeichen /weg, und macht hierauf
t=h, so verfällt man wieder auf die obige Reihe.
Es folgt demnach, daß
, duli d 2 u h 2
U dx 1 ' dx 2 1.2**'**’
d 11 1 u h«- 1 . 1 /“d n u' „
4_ .— ——- 4*. / —— (r—h) n ~ 1 dh,
T dx 11 -‘i.2...(n-l/ 1.2..(n_l)y dh“ V '
wofern man das Integral so nimmt, daß es verschwindet, wenn
b — o, und hierauf t in h verwandelt.
Man kann in dieser Formel durch ^ ersetzen (89.); und
wenn man unter dem Integralzeichen
t — h = zt, oder
b = (t—l)s
macht, so erhalt man
db=-— tdz,
/~d n u , . s sd n i
/ — (t — h) 11—I db = — / —
J dx 11 V ' J dx
t n z n 1 dz.
dx 11 y dx 11
Die Grenzen des Integrals werden alsdann z==i, z = o seyn;
man wird dasselbe positiv machen, wenn man die Ordnnng der
Grenzen umkehrt, d. h. wenn man es von z = o bis z = i
nimmt: schafft man t n unter dem Zeichen sweg und schreibt man
L anstatt t, so wird das letzte Glied der obigen Formel
b n f d n u' 1
— / -— z lx—1 dz
1.2 ... (n ■— 1 )J dx 11
Diesen letzten Lehrsatz hat Lagrange, allein auf eine andere
Weise, in der „tlieorio d68 touetious aualytiques“ 2te Auslage
§. 35. u. f. bewiesen.
Er bedient sich dessen, um zu beweisen, daß man die Summe
aller Glieder der Taylorschen Reihe, von einem gegebenen Gliede