Werth von ye““^ x dxsinrx zwischen re.
in diesem Falle eine ^bestimmte Größe. Es verhalt sich nicht
eben so mit dem Werthe von /e -a2x2 dx cos rx, wegen des
Factors e~ a2x2 , welcher stets abnimmt, je mehr x zunimmt;
und weil dieses Integral, vermöge des Gesetzes der Stetigkeit,
/dxcosrx zur Grenze hat, so.wird der Werth hiervon die Grenze
desjenigen des ersten seyn.
Man kennt noch andere Mittel, das vorhergehende Resultat
zu bewahren, wozu Euler dadurch gelangte, daß er das Inte
gral /e~ kx d x cosrx für ein beliebiges constantes k in Untersu
chung nahm.
Integrirt man durch Theile, indem man bei dem Factor
dxcosrx anhebt, so erhält man:
1 k
yV~ kx dx cos rx — - e“ kx sin rx -s- -s&~ kx dx sin rx,
und hierauf, wenn man mit dxsinrx operirt,
1 k
/e~ kx dx sin rx — e~ kx cos rx /e~ kx dx cos rx,
j r r J
wodurch man
-f- / e - kx dx cos rx— - e~ kx sin rx e~ kx cos rx
und mithin
. , , e-- kx (rsinrx—kcosrx)
/e- kx dxcosrx = +
erhalt. Zwischen den Grenzen x—o und x — co reducirt sich
der erhaltene Ausdruck auf ^ , welche Größe Null wird,
wenn beim Verschwinden von k das gegebene Integral in /dx
COS rx Übergeht.
Nehmen wir die Gleichung
1 k
/e— kx dx sin rx — e —kx dx cos rx /e~ kx dx cos rx
wieder auf und setzen für das Integral in der zweiten Seite des
sen schon gefundenen Werth, so erfolgt:
/e—t*dxsmrx=
welcher Werth sich auf ^ * ka reducirt, wenn man ihn zwischen
den Grenzen x—o und x= co nimmt.
Hier giebt die Annahme von k — o
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