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Werth von Slx.
Exponenten gebrochene oder gar irrationale Werthe, so führt man
in die Reihe Mittelglieder ein, welche demselben Gesetze unter
worfen sind, wie die andern.
Vandermonde und Kramp hatten vor langer Zeit vorgeschla
gen , die Function, welche das allgemeine Glied der obigen Reihe
vorstellt, als eine neue Art von transcendenten Größen, welche
mit Eigenschaften versehen sind, die wegen ihrer Analogie mit
denjenigen der Potenzen merkwürdig sind, in die Analyse einzu
führen ; seitdem hat Legendre, der an ihrem Ausdrucke in be
stimmten Integralen festhielt, viele sehr nützliche Relationen aus
ihnen abgeleitet, sehr ausgedehnte numerische Tafeln für sie
berechnet, und sie durch das Zeichen 1' bezeichnet, indem er als
Definition aufstellte:
rin= nF(n),
so daß
/■(„)=/;** (ii)-. -)
§. 435.
Der im §. 428. gefundene Ausdruck von ~ kommt in einer
von Stirling gelieferten Formel vor, um die Summe einer Reihe
von Logarithmen zu finden, welche Zahlen angehören, die eine
arithmetische Progression bilden, wozu man auf folgende Art
gelangt:
Nach dem §. 408, hat man
81x —K1x-j-lx;
setzt man in dieser Gleichung für Klx dasjenige, wozu der Aus
druck von 2n in §. 405. wird, wenn man u = ix und h==i
macht, und bemerkt, daß
Jxdx = xlx — x (208.),
so erhalt man:
Slx — xlx X —J” -j- ix
1 1
—1 -j— 2C« — l - const.
‘ 12x 360x 3 ' ‘
Man kann die Constante durch die Annahme x = i nickt
bestimmen; weil die Reihe der numerischen (Koefficienten zuletzt
divergent wird: man nimmt seine Zuflucht zu dem Ausdruck von
n in §. 428. Geht man zu den Logarithmen über und über
schreitet nicht die gerade Zahl 2x in dem Zähler, so findet man: *)
*) Siehe das ,,Traue eic.“ in 4io. Band Hl. S. 411. 4SI.