der integr. partiellen Differen t.-Gleichungen. 107
welches den unbestimmten Ausdruck
2
z = Ae~ n2 7sinnx +Aj6 sinn^x-^-rc. *)
darbietet.
Dieses vorausgesetzt, wenn der Werth von z außerdem, im
Falle daß y—o, zu einer gegebenen Function f(x) werden muß,
so erheischt diese Bedingung einen solchen Zusammenhang zwi
schen den Coefficienten n und A, daß
f (x) — A sin nx + Aj sin n^x-j-A 2 sin n 2 x + 2C.,
welches darauf hinausläuft die Function f(x) in eine nach den
Sinussen der Vielfachen des Bogens x geordnete Reihe zu ver
wandeln.
Man wird leicht finden, daß die gegebene Differential - Glei
chung noch die unbestimmte Entwickelung
2
z = Ae u 'icosnx-(- A t e n iy cos n x x + ZC.
zuläßt, und die zu erfüllende Bedingung würde in diesem Falle
f (x) = A cos nx-j-A x cosn 1 x-}-A 2 cos n 2 x-s- rc.
d. h. die Umwandlung von £(x) in eine nach den Cosinussen
der Vielfachen des Bogens x geordnete Reihe seyn.
Man kannte schon mehre Entwickelungen dieser Art: Euler
hatte bemerkt, daß
^-X — sinx — 4- sin 2x -f- l sin Zx — 2C., **)
welche Formel die Aufgabe löst, wenn f(x) — x, weil man aus
ihr ableitet
*) Diese Entwicklung liegt implicite in der im §. 352. gegebenen. Um
sie hervortreten zu lassen, peicht es hin, in der erwähnten Stelle,
n in—n 2 oder yii in + nfS—i, hieraufAin ~+~ —zu verwandeln,
was für z die beiden Ausdrücke
^ e -:n 2 y+nx/'-1 Äe ~n 2 y—nx/ 7 —i
__ , — 2// —
giebt, deren Summe
A
( n%y~~i —QX t 7 -
n2y ^ 273, = Ae n2 ^sinnx (187.)
ist. Eben so verhalt es sich mit allen übrigen Gliedern.
**) Diese Reihe ist im „Traiie etc.“' in 4to, im B. I. S.94. aufgeführt,
und Folgendes ist der Weg dieselbe zu erhalten. Wenn man in der
Formel i(i + u) = - - - + l ~ - + rc. (29.)
u in u —1 verwandelt, so giebt dieselbe: