der integr. partiellen Different.-Gleichnngen. 109 
/f(t) dt sinnt = a 1 /dtsintsin nt+a 2 /dt sin 2tsin nt,. 
. -}-a in /dtsinmtsinnt-{-lC. 
Allein 
1 
/dt sin mt sin nt — -/dt cos (m — n) t 
1 , 
/dt cos (m-f- n) t 
sin(m — n)t sin (m + n) t 
(218.), 
2 (rn — n) 2(m-j-n) 
welcher Ausdruck in den Grenzen o und n Null wird, so lange 
n, welches immer als ganze Zahl betrachtet wird, von & ver 
schieden ist. Mithin werden bei jedem Werthe, den man n zu 
weist, alle Glieder der vorhergehenden Reihe verschwinden, mit 
Ausnahme desjenigen, dessen Stellenzeiger jenem Werthe gleich 
ist. Der zweite Theil dieses Gliedes verschwindet auch noch, 
allein der erste Theil desselben, welcher sich unter der Form - 
darbietet, hat zum wahren Werthe ~ und wird zwischen den 
fraglichen Grenzen folglich erhält man: 
/ n 
f(t)dtsinmt= 
7T 
und mithin: 
2 r * 71 
a m = —/ f(t)dtsinmt. 
7l J o 
Auf diese Art wird jeder der Koefficienten a t , a 2 , k. durch ein 
bestimmtes zwischen den Grenzen o und n zu nehmendes Inte 
gral ausgedrückt, und man hat zur gesuchten Entwickelung 
f(x) = ^ |sinx/f(t) dt sin t-f- sin 2x/f (t) dt sin 2t .... 
-|-sinmx/f(t)dtsInmt-{-2C.| (A). 
Wenn f(x)==x, so erfolgt: 
/t(t) dt sin mt=/dt sin mt 
t cos mt . 1 
— { /dt cos mt 
m m 
t cos mt , sin mt 
— m m 2 ' 
und zwischen den Grenzen o und n reducirL dieses sich auf: