110 Ueber die willkürlichen Functionen 
iTCOSmsT 5T(—l) m 
m m 
Giebt man hierauf m die Werthe 1, 2, 3, und laßt den ge 
meinschaftlichen Factor beider Seiten d. t. n weg, so findet man 
die im vorigen §. aufgeführte besondere Entwickelung 
x=2 (sinx — ^sin 2x-j~-3- sin 3x — rc.). 
§. 439. 
Es sey noch 
£(x) — a 0 cos ox-j-aj cosx-f-a 2 cos 2x-s-rc.: 
ersetzen wir x durch t, multipliciren mit dt cos nt und nehmen 
die Integrale von t—o bis r—§r, so erhalten wir: 
^£(t)dt cos nt — a 0 /Ht cos ot cos nt-f- a i y<lt cos t cos nt.... 
-f-a^/dtcosmtcosnt, und hierauf: 
/dt cos Mt cos nt = ±sdt cos (m — n) t-j-^/dtcos (m -J-n) t 
sin (m — n) t sin(m-J-n)t 
2 (ra — n) 2 (m + n) ' 
welcher Ausdruck in den Grenzen o und vc verschwindet, wofern 
nicht n — m. Ist dieses Letztere der Fall, so hat der erste Theil 
jenes Ausdrucks zum wahren Werthes, und nun folgt bald, daß 
2 j 1 
& m =—s f(t)dtcosmt. 
Man muß jedoch von diesem Resultate das erste Glied der 
obigen Reihe ausnehmen, da n — o bloß giebt 
/ f(t)dt —a 0 / dt = a 0 TT, 
o o 
weßhalb 
a °=4/> dt - 
Man hat also endlich: 
(2 (cosx/f(f)cost-J-cos2x/f(t) dt cos 2t . . f 
\tz \ . . -|~cosmx/£(t)dtcosmt + :cJ ' 
wofern die Integrale zwischen den Grenzen 0 und n genommen 
werden.