112 Ueber die willkürlichen Functionen 
§. 441. 
Die Entwickelungen (A) und (B) scheinen respective zwei 
Arten von Functionen vorstellen zu müssen. Die erste, deren 
sämmtliche Glieder mit x ihr Zeichen ändern, entspricht den Fäl 
len, in welchen £(x) eine Function ist, welche dieselbe Eigen 
schaft besitzt und welche eine ungerade Function genannt 
wird, weil sie, wenn sie nach Potenzen von x entwickelt würde, 
nur ungerade enthalten würde. 
Die zweite Entwickelung, welche die entgegengesetzte Eigen 
schaft besitzt, diejenige nämlich, ihr Zeichen beizubehalten, obschon 
das Zeichen von x sich ändert, würde besonders auf gerade 
Functionen anwendbar seyn; allein beide sind nur Reihen, 
die man durch ein neues bestimmtes Integral ersetzen kann, wie 
wir sogleich sehen werden. 
Beginnen wir deßhalb damit, sie zu vereinigen, indem wir 
bemerken, daß eine beliebige Function F(x) in zwei Theile zer 
legt werden kann, deren einer gerade d. i. so beschaffen ist, daß 
er, durch lgp(x) vorgestellt, cp(x) — cp{—x) giebt, und der an 
dere ungerade d. i. von solcher Beschaffenheit ist, daß er, durch 
ip (x) bezeichnet, ip (x) — — pj (x) giebt. Drückt man den ersten 
durch die Reihe (B) und den zweiten durch die Reihe (A) aus, 
und nimmt ihre Summe, so erhält man: 
cp (x) Z- ip(x) = F (x) = ~ßp (t) dt -f. 
2 j cos xßp(t)dt cos t-j- cos 2xscp (t)dt cos 
n sin xßip(t)dt sin t -J- sin 2xßipßjdt sin 2t -st- 2C.) f 
wofern die Grenzen dieser Integrale fortwährend o und n sind. 
Man kann sie von —n bis -\-n ausdehnen, wofern man 
die erste Seite verdoppelt, weil die Function </>(t), da sie gerade 
ist, von o zu —Ti durch dieselben Werthe hindurchgehen wird 
wie von o zu re, so wie die Cosinusse. Die Function \p{t) 
wird zwar in diesen Zwischenräumen verschiedene Zeichen haben; 
allein da sie immer mit einem Sinus multiplicirt ist, der zu 
gleicher Zeit sein Zeichen ändert, so wird das Product dasselbe 
Zeichen behalten: das totale Resultat wird demnach verdoppelt 
werden. Nimmt man also die Integrale von — n bis -j- , so 
hat man aufzustellen: 
2FO)=i/<p(t;)dt+ 
2 j cos xfcp{t)dt cos t + cos 2xßcp(t)dt cos 2t -st- reff 
n (-j- sin xßip(t)dt sin t -st- sin 2xßip(t) dt sin 2t -st- 2C.i