Variations-Rechnung. 
Aufsuchen der Variation einer beliebigen Function.' 
§. 356. 
Älle früheren Anwendungen der Differential-Rechnung setzen 
voraus, daß die Abhängigkeit der Veränderlichen im Laufe einer 
Aufgabe beständig dieselbe bleibe. Allein es giebt verschiedene 
Arten von Aufgaben, für welche diese Abhängigkeit als verän 
derlich anzusehen ist, wie z. B. die folgende. Wenn V eine 
Function bedeutet, welche x, y und die Differential - Coefficien- 
ten von y enthält; so läßt das Integral 
/Vdx 
zwischen denselben Grenz - Werthen von x, eine unendliche An- 
zahl von Werthen zu, welche von der zwischen x und y festge 
stellten Relation abhangen, so daß man die Frage auswerfen 
kann; „welche von allen möglichen Relationen macht das gegebene 
Integral zum Maximum oder Minimum?" Da das Integral 
/Vdx, wofern man die Relation zwischen j und x nicht parti- 
cularisirt, daß Maß einer allen krummen Linien gemeinschaftli 
chen Eigenschaft ausdrückt, so frägt es sich also, für welche krum 
me Linie jene Eigenschaft ein Maximum oder Minimum ist. 
Es ist ersichtlich, daß wenn EL Fig. 60. die letztere krumme Fkg.lD. 
Linie ist, das Integral /Vdx für jede andere krumme Linie ys 
in dem ersteren Falle einen kleineren und in dem letzteren einen 
größeren Werth hat. Um jener Bedingung zu genügen, muß 
vor allen Dingen der Unterschied untersucht werden, den eine 
beliebige Aenderung in der Relation zwischen y und x oder in 
der Natur der diese Relation vorstellenden krummen Linie, zwi 
schen den Werthen des Integrals /Vdx bewirkt. Jene Aende 
rung drückt man dadurch aus, daß man y unabhängig von x 
variiren läßt; denn betrachtet man zwei krumme Linien CE und 
ys, so entspricht dieselbe Abscisse AP zweien Ordinaten PM und 
P/i, und der Unterschied Mft dieser Ordinaten muß von den 
Unterschieden M'R und (.lq , welche zwischen zwei bei derselben 
krummen Linie auf einander folgenden Ordinaten Statt finden, 
wohl unterschieden werden. 
Laerei^ Bariat. 
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