u m stellt, na.vo fl c! und 6. 3 
die Aenderung von dy, von einer krummen Linie zur andern, ist, 
und man wird haben: 
V\u' — Tu^-Qr -f—/£ , r = y + dy-J— d>dy 
=j-f- dy+d(y-hdj); 
allein da der Punkt fi ein auf der krummen Linie ye auf ¡t fol 
gender Punkt ist, so har man .auch: 
PV — y + (5y-f- d Cy + öy)—y-f- dy++ döy. 
Vergleicht man diese beiden Ausdrücke, so ergiebt sich: 
„<5dy— ddj ff . 
Dieses kann auch ohne Betrachtung von krummen Linien 
bewiesen werden, wenn man den ursprünglichen Zustand von y 
durch ^(x) und den Zustand von y nach der Variation durch 
eine andere Function ch(x) bezeichnet. *) Alsdann wird Sj = 
r/>(x) — yx) eine gewisse Function von x und folglich, wegen 
des ursprünglichen Zusammenhangs zwischen y und x, auch von 
y seyn. Bezeichnet man 'diese letztere Function durch n, so er 
hält man 
*) Um den Functionen <p und ip einen gemeinschaftlichen Ursprung zu 
geben, sah Euler, welcher sich beeilte, die Variations-Rechnung auf 
zunehmen und zu erläutern, den ursprünglichen Werth von y oder 
ip(x) als von einer andern Function abgeleitet an, welche nebst der 
Veränderlichen x noch eine andere Veränderliche t enthält und in cp(x) 
übergeht, wenn 1=0. (Novi Gomm. Acad. Petrop. t. XVI» p. 35). 
Durch dieses Hülfsmitttcl wird 
yd-dy zu 
• dy 
y + dT'"' 
dv 
und das unter der Annahme von t — o zu nehmende stellt, so 
lange der Zusammenhang zwischen y und t noch nicht particularisirt 
ist, eine willkürliche Function von x vor. Der allgemeine Werth von 
y würde durch die Reihe 
. dy dt d 2 y dl 2 
* dt 1 di 2 1.2 
ausgedrückt werden, wofern die Veränderliche t in y und in deren 
Differential- Cocfficienten der Null gleich angenommen wird. Nimmt 
man die Differential-Coefficicnten dieser Reihe in Bezug auf x, so 
erhält man alle zu substituirenden Größen, um den nach den Poten 
zen von dt geordneten geänderten Zustand des Integrals /Vdx zu er 
langen. Unter dieser Form führt Lagrange in der letzten Ausgabe 
feiner „Teeons sur le Calcul des Fonctions 1 * die Variations-Rechnung 
auf, über welche er in sehr interessante Details eingeht. (Siehe den 
„Tratte etc.“ in 4to. B. II. S. 723.)