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Variation einer Different!al,Functi on. 
ß. 359. 
Dieses vorausgesetzt erhält man, wie man sieht, die Varia 
tion einer beliebigen x, y und ihre Differentiale von beliebigen 
Ordnungen enthaltenden Function U, wenn man annimmt, daß 
x und j respective in x-j-dx und y + dy übergehen, und dx, 
dy als beliebige Functionen, die eine von x und die andere von 
y, ansieht. Beschränkt man sich auf diejenigen Glieder, in 
welchen die Variationen den ersten Grad nicht übersteigen, so 
kommt die Operation darauf zurück, die Function U durch das 
gewöhnliche Verfahren, sowohl in Bezug auf x und y als auf 
ihre als unterschiedene Veränderlichen angesehenen Differentiale 
zu differentiiren, allein mit der Rücksicht, die letzte Differentia 
tion durch d anzudeuten. In der That ist es einleuchtend, daß 
unter dieser Annahme die Differentiale von 
x, y, dx, dy, je. 
dx, dy, ddx, ddy, rc. 
i sind. Wenn also das gewöhnliche Differential von 17 
du == Md x 4- m 2 x -f Pd*x + q d* x +zc. 
-j- mdy-j-nd 2 y -|-pd 3 y qd 4 j -s- rc. 
ist, so wird es hinreichen, hierin das letzte d in d zu verwandeln, 
wodurch erfolgt: 
dU === Mdx -|- Nddx -)- Pdd 2 x -s- Qdd 3 x-j- :c. 
-|-mdy-|-nddy-j-pdd 2 y-j-qdd 3 y-]-2C. 
Wenn U unter der Form Vdx vorkommt, so daß V als 
dann nur 
dy dp 
*' 7' 5=i'E = ’' K r 
enthält, so wird man haben: 
dV — Mdx-^-IVdy-l-Pdp-l-(^dg-j-Iddr-s-rc., 
und mithin wird die Variation von V seyn: 
dV = Mdx -j- Ndy +Pdp + Qdq-f- Kdr —J— zc., 
indem man bemerkt, daß die Größen p, q, r rc., hier, als zwei 
unabhängige Veränderlichen x, und y enthaltend, angesehen wer 
den müssen, und daß man folglich ihre Variation unter zwei 
verschiedenen Annahmen nehmen kann, nämlich indem man nur 
eine dieser Größen, oder indem man beide variiren läßt. Ich 
werde hier den letzten Gesichtspunkt festhalten, weil dieser, wie 
schon gesagt wurde, allgemeiner ist, und weil man hieraus die 
dem andern zukommenden Resultate ableiten kann, wenn man 
diejenigen Glieder ausläßt, welche sich auf die als constant an 
zusehende Veränderliche beziehen. DifferentiirL man mit dem 
Zeichen d die Brüche