Variation einer Integral-Function. 
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/dU = (N — dP + d 2 Q—ic.) dx + (?— d Q.+ rc.) ddx 
+ (Q—2C.)d. 2 t>x -f- 2C. 
_j_ ( n — dp -f- d 2 q —rc.) dy -f-(p— dq + ic.)ddy 
-f- (q—rc.) d 2 dy+rc. 
-f/(M — dN + d 2 P — d 3 Q -|£ rc.) dx 
-]-y*(m — dn -j- d 2 p — d 3 q -|- rc.) dy. 
Dieses Resultat besteht aus zwei ähnlichen Theilen, wovon 
der eine aus der Variation von x und der andere aus derjeni 
gen von y hervorgegangen ist; und es ist leicht einzusehen, daß 
man dasselbe auf eine Function einer beliebigen Anzahl von Ver 
änderlichen ausdehnen kann, wenn man für jede von diesen ähn 
liche Glieder einführt, wie die Veränderliche x oder y sie darge 
bracht hat. 
§. 361. 
Wenn der Ausdruck sü unter die Form /Vdx gebracht 
worden, d. h. wenn in V nur die Veränderlichen x, y und Dif 
ferential - Coefficienten von y vorkommen, so scheint die Entwicke 
lung der Variation zu einer etwas verwickelteren Rechnung zu 
führen; allein es ergeben sich merkwürdige Folgerungen. Es ist 
zuerst zu bemerken, daß 
d/Ydx — /d(Vdx) = /Vddx 4-yUxdV, 
/Vddx = Vdx — /dVdx, 
und folglich: 
d/Vdx —Vdx-|- /(dxdV — dYdx), 
Die Größe dxdV—dVdx läßt sich durch die §. 359. angegebe 
nen Werthe von dV und dV näher bestimmen, so daß man 
erhält: 
dxdV—dVdx = N (dxdy—dydx)-j-P (dxdp—dpdx) 
+ Q(dxdq — dqdx)-j-2C.; 
setzt man hierauf pdx für dy, in demjenigen, womit N multi- 
plicirt wird, und den Werth von dp (259.) in demjenigen, wo 
mit P multiplicirt wird, so findet man: 
dxdy— dydx = dx (dy — pdx) 
dxdp — dpdx —ddy — pddx — dpdx==d (dy—pdoc), 
woraus folgt: 
dxdp-dpÄ-dÄ^läi). 
Wenn man y in p und p in q verwandelt, so erhält man eben so: 
u. s. f.: macht man also