Integrabilität der Differentiale. 
zeichnet man den ersten Coefficienten mit tz-, so wird der zweite 
— seyn. 
§. 362. 
Nicht weniger Aufmerksamkeit verdient eine andere Bemer 
kung, daß wenn man in der Entwickelung von 6/U (360.) 
M -— dN d 2 P — d 3 Q + K. — o 
m —dn-j-d 2 p— d 3 q -s-rc. —o 
tyatte, die Variation /617 vom Zeichen s gänzlich befreit seyn 
würde; allein diese Gleichungen sind gerade diejenigen, welche 
Start finden müssen, damit 17 an sich selbst integrirbar ist. Diese 
im §. 280. berührte Behauptung läßt sich a priori beweisen, wenn 
man auf das Aufsuchen dieser Bedingungen die Methode der 
Variationen anwendet. 
Ist nämlich 17 das Differential einer Function 17 u [o hat 
man 
U —dU,, und folglich 
60 = 661/== deJüj, 
weßhalb, wenn 17 ein genaues Differential ist, 617 ebenfalls 
ein solches seyn muß. Hat man also in dem Ausdrucke von 
/60 alle Glieder, welche sich integriren lassen, unter dem Zeichen 
/'weggeschafft, so muß der Inbegriff der zurückbleibenden von 
selbst Null seyn, ohne daß man irgend eine Relation zwischen 
x, y' 6x und 6y anzunehmen nöthig hat. 
Da die Entwickelung von 6/Vtbc nur die einzige Bedingung 
rc. — o 
darbietet, so zeigt sie, daß die auf die Veränderliche x bezügliche 
unnütz wird, wenn die Function 17 auf die Form Vdx zurück 
geführt ist, wo V nur x, y und' Differential - Coefficienten von 
y enthält. *) 
§. 363. 
Diese Bemerkungen beschränken sich nicht auf den Ausdruck 
von /17; sie erstrecken sich ebenfalls auf diejenigen von JsU, 
*) Diese Transformation ist nicht immer möglich, 
beiden Functionen 
dxd 2 y 4. dvd 2 x . dxd 2 y— dyd 2 x 
• J * UNd — — 
Es seyen ij*. B. die 
(Ix 2 dx 2 
gegeben; verwandelt man hier dy in pdx und d 2 y in cldx 2 -i-pd 2 x 
(131.), so verschwindet d 2 x nur in der zweiten; man kann also nicht 
in der ersten y als unmittelbar von x abhängig ansehen (Siehe den 
,,Traite etc.“ in 4to. B. I. 0.217).