10 Integrabilität der Differentiale. 
sJ'JV, rc., welches die Anzahl der Integrationszeichen seyn mag; 
und sucht man auch die Variation dieser letzten Formeln, so 
findet man die Bedingungsgleichungen, welche Statt finden müssen, 
damit die Größe 17 das genaue Differential einer Function U, 
von der unmittelbar tieferen Ordnung, einer Function CJ a von 
der um zwei Einheiten tieferen Ordnung, rc., ist. 
In der That, weil 
u^/u, 
so kommt zum Vorschein: 
dU^ösU^ßü^sSsUi 
und man erhalt <M 2 , wenn man dsü von neuem integrirt. 
Allein nach tz. 360. ist 
dsü=(N — dP -J- d 2 Q —rc.) dx-f- (P — dQ -f- rc.) ddx 
+ (Q— rc.) d 2 dx-f-rc. 
-j-(n —dp4-d®q — IC.)^7+Cp — dq-j-K.)ddy 
+ (q—K.) d 2 dy-j-rc. 
+/(M— dN + d 2 P — d 3 Q -j- rc.) dx 
+/(m -— dn -j-d 2 p — d 3 q -j~2C.) dy: 
folglich hat man: 
dü 2 =/N — dP -f d 2 Q — rc.) dx +/P—dQ + rc) ddx 
+/(Q— rc.) d 2 dx -s- rc. 
+/> — dp + d 2 q — rc.) dy +/(p — dq-s- rc.) ddy 
+/(q — 2C.) d 2 dy -f- rc. 
+ss(M — dN -f d 2 P — d 3 Q -f- rc.) dx 
-j-sßm — dn -s- d 2 p — d 3 q -f- rc.) dy; 
integrirt man diejenigen Glieder, welche noch Differentiale von 
dx oder dy enthalten, durch Theile, so findet man: 
dü 2 =* (P — 2dQ -s- 3d 2 R — rc.) dx -f (Q — 2dR -f- rc.) ddx 
-j- (R — rc.) d 2 dx -f- rc. 
-f-(p — 2dq -f- 3d 2 r —IC.) dy -j- (q —2dr-j-ic.) ddy 
+ ( r —rc.) d 2 dy-f-rc. 
+/(N— 2dP + 3d 2 Q — 4d 3 R + rc.) dx 
-s-/(u — 2d]) -J-3d 2 q — 4d 3 r -f- rc.) dy 
+///VI— dN + d 2 P — d 3 Q -Rd»R —rc.)dx 
-\~sj\m— dn + d 2 p — d 3 q -j- d*r —K.) dy. 
Dieses ist die gesuchte Variation, welche nur dann von den bei 
den Zeichen /befreit seyn wird, wenn die Gleichungen 
N — 2dP + 3d 2 Q — 4d 3 R-j-:c.= o 
n —2dp4~3d 2 q —4d 3 r -f-iC. = o