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Maxiina und M i n i -n a. 
Es folgt aus dem Vorhergehenden, daß die im §.,362. an 
gezeigten Gleichungen, welche die Bedingungen der Jntegrirbar- 
keit der Formeln /11 und /V3x ausdrücken, und alsdann iden 
tisch sind, sobald sie dieses nicht sind die Relation zwischen y 
und x bestimmen, wodurch die gegebenen Integral-Formeln ein 
Marimum oder Minimum werden. Man erkennt leicht, daß 
diese Gleichungen sich bis zu derjenigen Ordnung erheben kön 
nen, deren Exponent das Doppelte derjenigen des höchsten Dif 
ferentials ist, welches in II oder V vorkommt. 
§. 366. 
Nachdem der mit /behaftete Theil verschwunden, bleibt noch 
der Ausdruck 
ceckx-f- ßSy 4- a/dx + + 2C. 
übrig, den ich, der Kürze wegen, mit cp bezeichnen will: man 
erhalt alsdann 
fSV = cp coxist. 
und der vollständige Werth dieses Integrals wird gefunden, wenn 
man den Unterschied der Werthe von cp nimmt, welche den bei 
den Grenzen des Integrals entsprechen (229.); so daß, wenn 
cp der ersten „und cp" der zweiten Grenze entspricht, alsdann: 
MI—cp" —- cp', 
weßhalb für das Maximum oder Minimum des Integrals JV 
nun die Bedingung 
cp" — cp—o 
zum Vorschein kommt; allein man muß wohl bemerken, daß 
diese Gleichung Nur noch Größen enthalt, welche sich auf die 
Grenzen des Integrals sü beziehen, und daß alsdann die Va 
riationen öx, dj, <?dx, 66^ rc. entweder Null oder nur durch 
gegebene Relationen unter einander verknüpft seyn können, je 
nachdem jene Grenzen feste oder veränderliche seyn werden. Die 
geometrische Erörterung dieser verschiedenen Umstände wird die 
selben hinreichend aufhellen. 
Der erste Umstand tritt ein, wenn die krumme Linie, welche 
das gegebene Integral zum Maximum oder Minimum macht, 
unter allen denjenigen krummen Linien zu nehmen ist, welche 
der Nothwendigkeit unterworfen sind, durch zwei Punkte hin 
durchzugehen, deren Coordinaten genau angegeben sind, so 
wie Alles, was sich auf sie bezieht, und daß das Integral/ei 
dem einen dieser Punkte anfangen und bei dem andern aufhören 
muß. Bezeichnen x, y' die Coordinaten des ersten und x", y" 
diejenigen des zweiten Grenzpunktes, so werden diese Größen 
in so sern sie allen in der fraglichen Aufgabe zu betrachtenden