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sprechen, nachdem es variirt worden ist, sind nicht mehr dieje
nigen, welche dem ursprünglichen Zustande desselben entsprachen,
und die hierauf bezüglichen Ordinalen haben sich nach dem Ge
setze geändert, welches zwischen den krummen Linien AA' und
BB' aufgestellt wurde. Bei dem gegenwärtigen Umstande müssen
die Variationen der Ordinate» und diejenigen ihrer Abscissen die
selben Relationen gegen einander haben, wie die Differentiale,
welche sich auf die krummen Linien AA', BB' beziehen, Rela
tionen, welche durch die gegebenen Gleichungen dieser krummen
Linien dargeboten werden. Es ist demnach nöthig, sie in die
Gleichung cp"— <?'== o einzuführen; und, um diese hierauf zu
bewähren, müssen die Coefficienten der unabhängig bleibenden
Variationen, jeder insbesondere, gleich Nnll gesetzt werden.
Enthält die Function /Ü Differentiale von noch höherer Ord
nung, so kann man, weil die Anzahl der Glieder der Gleichung
cp" — cp' = o zunimmt, noch andere neue Bedingungen für die
Grenzen aufstellen, z. B. verlangen, daß die krumme Linie AB
unter allen denjenigen gewählt werde, welche die Linien AA' nnd
BB' zugleich berühren. Wegen dieser letzteren Bedingung müssen
die auf die Grenzen des Integrals bezüglichen Coordinate» x und
j nicht nur die durch die Gleichungen jener krummen Linien
ausgedrückten Relationen erfüllen, sondern es muß sich eben so
mit ihren Differentialen verhalten. Folglich sind die Variationen
ddx', cMy', ddx", ddy" nicht mehr unabhängig, und müssen
mit den auf die gegebenen krummen Linien bezüglichen zweiten
Differentialen zusammenfallen. Man kann vermittelst dieser Re
lationen einige der Variationen ddx', ddy', ddx", ddy" aus der
Gleichung cp" — cp'=o eliminiren, und man bewährt diese Glei
chung also dadurch, daß man die Coefficienten der übrig blei
benden völlig willkürlichen Variationen, jeden insbesondere, gleich
Null setzt.
Da die Gleichungen, welche man sich hierdurch verschafft,
Relationen zwischen den Coordinate» der äußersten Punkte der
gesuchten krummen Linie begründen, so betreffen sie nothwendig
die durch die Integration der Gleichung % — o eingeführten will
kürlichen Constanten und dienen dazu, diese letzteren zu bestimmen.
§. 368.
Man hat hierauf noch zu bemerken, daß weil es Umstände giebt,
in welchen auf die Variationen der Grenzen der Integrale zu
achten ist, die Coordinate» x', y', x", y" dieser Grenzen, wenn
sie in dem Ausdrucke von II vorkommen, eben so gut als x und
y nothwendig hierin variirt werden müssen, weshalb dU um fol
gende Glieder zu vermehren seyn würde: